Konvergenz _n = ( 1 + 1/n^2 )^n

Question

Mir fehlt auch hier der Ansatz wie ich mathematisch korrekt den Grenzwert von a_n = ( 1 + 1/n^2 )^n bestimme. Könnte mir jemand einen kleinen Ansatz geben ? Vielen Dank

Comments

Wenn man sich darauf bezieht dass die Funktion f : ℝ → ℝ mit f(x) := xⁿ stetig ist ist, kann man den Grenzwert auch so schreiben:

$$ \lim_{n\to\infty} {\left(1 + \frac{1}{{n}^{2}}\right)}^{n} = \left( \lim_{n\to\infty} {\left(1 + \frac{1}{{n}^{2}}\right)}\right)^{n} $$

Answer 1

Du kannst das umschreiben zu

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n^2}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2} \right) ^{\frac{1}{n}} =  \lim_{n \to \infty} e ^{\frac{1}{n}} = 1$$

Gruß Werner

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Und wenn ich dies in meiner Vorlesung noch nicht gezeigt habe? Gibt es eine andere Möglichkeit dies zu zeigen?

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andere Möglichkeit dies zu zeigen?

Wenn Werners Methode hier richtig wäre könntest du einfach
lim_n→∞ (1+1/n^2)^n  =  lim_n→∞ (1)^n  =  1   schreiben.