Mit der eulersche Darstellung berechnen

Question

Ich soll mit ser eulersche Darstellung eine gleichung lösen so habe ich zumindestens die Frage verstanden.Ich habe jetzt alles umgewandelt aber komme gerade nicht mehr weiter könnte mir einer helfen

Answer 1

Hallo Sweeti,

³√[ -√3 + 3i ] = z ,     Lösungen in der Eulerschen Darstellung   z = r * e^i·φ

 für  w = a + bi  =  -√3 + 3i    ist

| w | = r_w = √(a² + b²)    und    φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0        [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

hier also:  | w |  = √[ (-√3)² + 3² ]  = √[ 3 + 9 ]  =  √12

              φ_w = arccos( - √3 / √12)  = 2π/3 

                                     [ hatte b für a eingesetzt, nach Kommentar editiert ]

                  w  =  √12 · e^i·2π/3

              ³√w = z      (3 Lösungen!)

                 z_k =  ³√(√12) · e ^{i · (2π/3 + k·2π) / 3}          mit  k ∈ {0, 1, 2}

                    z₀  ≈  1.159090930 + 0.9725927721 · i 

                    z₁  ≈  -1.421835513 + 0.5175058048 · i

                    z₂  ≈  0.2627445830 - 1.490098577 · i 

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen vielen dank wolfgang sie retten mir wieder das leben.Ich konnte gar nicht schlafen jetzt dank ihnen kann ich beruhight schlafen gehen ;)

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Wünsche dir schöne Träume :-)

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z₀  ≈  1,490098577 + 0,2627445830 · i

                    z₁  ≈   - 0,9725927721 + 1,159090930 · i

                    z₂  ≈   - 0,5175058048 - 1.421835513 · i

hmmmm....

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sie retten mir wieder das leben

na hoffentlich hängt das jetzt nicht am seidenen Faden! :-/

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@Gorgar

Könnte sein, dass er deinen kryptischen Kommentar als Zustimmung aufgefasst hat.

Trotzdem danke für den "Hinweis"

> na hoffentlich hängt das jetzt nicht am seidenen Faden! :-/ 

Frei nach Shakespeare:

Viel Lärm um einen Flüchtigkeitsfehler!

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@Sweeti

Sorry,

habe den Flüchtigkeitsfehler (b für a eingesetzt) und die Folgen korrigiert.

Hoffentlich hattest du wenigstens keine Albträume :-)

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:) Kein Problem verrechnen tun wir uns alle immer wieder mal. Mir war es nur wichtig den Rechenweg zu verstehen und dank ihnen habe ich esauch rechtzeitig verstanden auf die Lösung kam es nicht an. Gorgar vielen dank ihnen auch das sie den Rechenfehler gefunden haben ;) jetzt habe ich aufjedenfall alles gut verstanden dank ihnen beiden.

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Lieber Wolfgang jetzt habe ich alles nochmal berechnet und ich glaube sie haben einen Rechenfehler denn der betrag ist nicht die wurzel aus 12.Sondern die wurzel aus 18 sie haben vergessen das a hoch zwei zumachen.

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Ich denke, die Rechnung in meiner Antwort ist jetzt richtig :-)

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Ja ich glaube auch ;) Vielen dank nochmal

Answer 2

Hallo noch einmal,

\( z = \sqrt[n]{a} \Leftrightarrow z^n = a \)
Für die Gleichung \(z^n = a = a_0 \ e^{i \ \alpha} \) gibt es n Lösungen im Komplexen:
\(z_k = r\left(\cos(\varphi_k)+ i \ \sin(\varphi_k) \right) = r \ e^{i \ \varphi_k}\), mit \(r = \sqrt[n]{a_0} \) und \(\varphi_k = \frac{\alpha + k\cdot 360°}{n} \), \(k= 0, 1, 2, ..., n-1 \)

Hier haben wir:

$$ z = \sqrt[3]{-\sqrt{3}+3i } \Leftrightarrow z^3 = -\sqrt{3}+3i\\$$ Es gibt 3 Lösungen und damit 3 Wurzeln. Gesucht: \(\alpha\) und \(a_0\)
$$a= -\sqrt{3}+3i = a_0  \ (\cos(\alpha) + i \ sin(\alpha)) = a_0 \ e^{i \ \alpha}\\a_0 = \sqrt{\left(-\sqrt{3} \right)^2 + 3^2} = \sqrt{12}, \ \alpha = \arctan\left(-\frac{3}{\sqrt{3}} \right)=-60° \\$$
Da \(a=-\sqrt{3}+3i\) im zweiten Quadranten liegt, müssen wir 180° addieren und erhalten
\(\alpha = -60°+180°=120°  \) und damit ist \(a=-\sqrt{3}+3i = a_0 \ e^{i \ \alpha}=\sqrt{12} \ e^{i \ 120°} \)
Usere 3 Lösungen sind:
\(z_0 = \sqrt[3]{\sqrt{12}} (\cos(40°) + i \ \sin(40°)) ≈ 1.1591 + 0.9726 \ i  \)
\(z_1 = \sqrt[3]{\sqrt{12}} (\cos(160°) + i \ \sin(160°)) ≈ -1.4218 + 0.5175 \ i \)
\(z_2 = \sqrt[3]{\sqrt{12}} (\cos(280°) + i \ \sin(280°)) ≈ 0.2627 - 1.4901 \ i \)

Beste Grüße

Comments

Gorgar vielen dank das sie mir heute wieder helfen aufjedenfall habe ich es auch dank ihnen verstanden ;)

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Super! :-)