Question

Berechne die fehlenden Seiten des Vierecks.

a=6cm c=10,5cm   β=108° γ=37°

Comments

b = 8,42; d = 1,98;
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Answer 1

Vorbereitende Berechnungen und Konstruktionen:

Berechne zunächst den Winkel  δ:

δ = 360 ° - 90 ° - 108 ° - 37 ° = 125 °

Verlängere nun die Seite b über den Punkt B hinaus und bezeichne diese Verlängerung mit b '. Verlängere auch die Seite d über den Punkt A hinaus und bezeichne diese Verlängerung mit d ' . Bezeichne den Schnittpunkt von b ' und d ' mit E und den dortigen Winkel mit ε. Dann ist CDE ein Dreieck und es gilt:

ε = 180 - γ - δ = 180 ° - 37 ° - 125 ° = 18 °

 

Berechnung der Länge der Seite b:

Betrachte nun das Dreieck ABE: Es ist rechtwinklig, seine Hypotenuse ist die Seite b ' und die seinem Winkel ε gegenüberliegende Kathete ist a.
Also gilt:

sin ( ε ) = a / b '  

<=> b ' = a / sin ( ε )

Nach dem Sinussatz gilt nun in dem Dreieck CDE:

( b + b ' ) / sin ( δ ) = c / sin ( ε )

<=> b = c * sin ( δ ) / sin ( ε ) - b '

= c * sin ( δ ) / sin ( ε ) - a / sin ( ε )

= ( c * sin ( δ ) - a )  / sin ( ε ) 

= ( 10,5 * sin ( 125 ° ) - 6 ) / sin ( 18 )

= 8,42 cm (gerundet)

Die Seite b ist also etwa 8,42 cm lang. 

 

Berechnung der Länge der Seite d:

Da das Dreieck ABE rechtwinklig mit den Katheten a und d ' sowie der Hypotenuse b ' ist, gilt dort auch der Satz des Pythagoras, also:

a ² + d ' ² = b ' ²

<=> d ' = √ ( b ' ² - a ² )

= √ ( a ² / sin ² ( ε ) - a ² )

= a * √ ( ( 1 / sin ( ε ) ) ² - 1 )  

Wieder nach dem Sinussatz gilt dann in dem Dreieck CDE:

( d + d ' ) / sin ( γ ) = c / sin ( ε )

<=> d = c * sin ( γ ) / sin ( ε ) - d '

=  c * sin ( γ ) / sin ( ε ) - a * √ ( ( 1 / sin ( ε ) ) ² - 1 )  

=  10,5 * sin ( 37 ) / sin ( 18 ) - 6 * √ ( ( 1 / sin ( 18 ) ) ² - 1 )  

= 1,98 cm (gerundet)

Die Seite d ist also etwa 1,98 cm lang.