Direkter Beweis für die 3 unten gelisteten Aufgaben. Weiß nicht, wie ich da vorgehen soll.

Question

Hallo und zwar habe ich folgende Aufgaben und hab leider absolut keinen Plan, wie ich vorgehen soll bzw.ich verstehe z.T. nicht, was man konkret will. Ich glaub ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr :(

Und zwar soll ich direkt beweisen also nicht via Induktion:

1.  3 teilt n^3 +2n für n Element der Ganzen Zahlen

2.  Seien a, b, n Element der Natürlichen Zahlen außer 0. Dann gilt n|b wenn ggT(a,n) =1 und n|ab.

3.  Seien a,b Element der Natürlichen Zahlen außer 0 mit ggT(a,b) =1. Dann folgt aus a|n und b|n, dass auch ab|n für n Element der Natürlichen Zahlen.

Liebe Grüße im Voraus!

Answer 1

3 teilt n³ +2n für n Element der Ganzen Zahlen

n³ +2n  = n * ( n² + 2 )

Bezüglich der Teilbarkeit durch 3 gibt es ja nur 3 Fälle:

1. Fall   3|n . Dann ist auch das Produkt n * ( n² + 2 ) durch 3 teilbar, also OK.

2. Fall  3| n+1 also gilt: Es gibt ein k aus ℤ mit  n+1  = 3*k

                     ==>   n = 3k-1   und damit n² = 9k² - 6k + 1

                                               ==>      n² + 2 = 9k² - 6k + 3

also ist  n² + 2  durch 3 teilbar , weil alle 3 Summanden durch 3 teilbar sind,

und damit ist auch das Produkt   n * ( n² + 2 ) durch 3 teilbar.

3. Fall  3| n+2 also     n = 3k-2   und damit n² = 9k² - 12k + 4

                                                     ==>      n² + 2 = 9k² - 12k + 6

also ist  n² + 2  durch 3 teilbar , weil alle 3 Summanden durch 3 teilbar sind.

Comments

Einfacher : 

n^3 + 2n  =  n^3 - n + 3n  =  n·(n^2 - 1) + 3n  =  (n-1)·n·(n+1) + 3n

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Auch schön !

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ok danke für die schnelle Antwort der ersten Aufgabe!