Substitutionsregel bei dem Integral cos(x)^n sin(x)

Question

wir hatten heute Integralrechnung und haben die aufgabe bekommen, auf die Stammfunktion vom im Titel genannten Integral, mit Substitution zu kommen. Die Methode an sich versteh ich, aber ich hab eine Frage zu einem Schritt die der online Rechner vollzieht.

Er substituirt u = cos(x), was noch verständlich ist. Jedoch wird dann seine Ableitung -1/sin(x) du.

Könnte mir jemand diese Schritte erklären?

Answer 1

Richtig, warum ist das so?

Also was der Rechner gemacht hat ist folgendes:

cosinus Ableiten ergibt -sinus(x)

f = cos(x)

f' = -sin(x)

du/dx = -sin(x)

umgestellt sodass:

dx = du/-sin(x)

Comments

Gerne doch!

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Eine Frage noch. Warum genau nimmt man dann nur das - bzw. Warum verschwindet das 1/sin x ?

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Gute Frage, also das ist leicht zu verstehen.

Also zunächst musst du dir vorstellen, dass dieser -1/sin(x) Bruch da hinein gezogen wird. Jetzt wird's toll: Du hast dann sinus / sinus, was ja 1 ist :)

$$ \int { \frac { { u }^{ n }sin }{ 1 } \frac { -1 }{ sin }  } =-\int { \frac { { u }^{ n }sin }{ sin }  } =-\int { { u }^{ n } }  $$

Wenn man genug integrier Erfahrung hat, dann sieht man schnell, dass cos und sinus eine Ableitung sind, das heißt wenn du ein Integral hast: Integral von f*f'
dann bekommst du ein f raus, indem du "geschickt" substituierst, wie in deinem Beispiel :)

dein Beispiel ist also ein gutes Beispiel für das was ich meine :)

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Also steht da theoretisch: u^n sin (x) - 1/sin (x ) ?

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Achtung, das ist eine Multiplikation!

Erklärung kommt:

$$ \int { \frac { ({ u }^{ n }sin) }{ 1 } \frac { (-1) }{ sin }  } =\int { \frac { { (u }^{ n }sin)(-1) }{ sin }  } =\int { \frac { { u }^{ n }1(-1) }{ 1 }  } =(-1)\int { \frac { { u }^{ n }1 }{ 1 }  } =(-1)\int { { u }^{ n } }   $$

Ich hab das nochmal etwas eindeutiger geschrieben mit Klammern etc.

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Super. Danke für die ausführliche Erklärung :)

Answer 2

u= cos(x)

du/dx= -sin(x)

dx= - du/(sin(x)

Dieser Ausdruck wird für das dx am Integral eingestzt.