Question

Man zeige f ist global umkehrbar: 

Die Aufgabe 1 (i) habe ich mit der Jacobimatrix gezeigt, aber wie geht man bei 1 (ii) vor? Hierfür müsste die Surjektivität gezeigt werden, da laut Hinweis die Funktion f injektiv ist. Doch wie zeigt man die Surjektivität bei mehrdimensionalen Funktionen?

Comments

Doch wie zeigt man die Surjektivität bei mehrdimensionalen Funktionen? 

Du musst zeigen, dass jedes (a,b,c) € R^3 als Resultat vorkommt. 

Alternativ: (falls "global" das zulässt): Du nimmst als Definitionsbereich der Umkehrfunktion einfach f(R^3) und nicht gleich R^3. Dann musst du nur noch "injektiv" zeigen. 

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Ja, aber wie genau macht man das? Ich habe versucht die Umkehrabbildung zu bilden, aber das klappt hierbei nicht. Es muss einen anderen Weg geben, denke ich. Kannst du mir da helfen?

Answer 1

berechne mal die partiellen Ableitungen:

df/dx1 = (1,0,e^{x1})">"(0,0,0)

df/dx2 =( e^{x2},1,0)">"(0,0,0)

df/dx3 =(0,e^{x3},1)">"(0,0,0)

Das größer bezieht sich auf den Vergleich der jeweiligen Komponente.

---> f(x1+a,x2+b,x3+c)≠f(x1,x2,x3)