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Gegeben ist im IR2 die Gerade g1: r (λ) = (-4;9)+λ(9;-5)

Jetzt sollen die Komponenten a und b so bestimmt werden, dass die Gerade g2: r(µ)= (5;a)+µ(b;3) und die gerade g1 identisch sind.

Danke schön für die Hilfe oder Lösung :) 

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Hallo Jibl,

Du schriebst: "Könnten sie mir auch die andere frage die ich gestellt habe so Präzise erklären ... "

Wen es um Funktionen und noch mehr mehr, wenn es um Vektoren geht, so mache Dir IMMER eine Skizze. Ich habe zunächst mal die gegebene Gerade \(g_1\) (blaue durchgezogene Linie) mit dem Aufpunkt \(P_1=(-4;9)^T\) und dem Richtungsvektor \((9;-5)\) (grüner Pfeil) eingezeichnet.

Bild Mathematik  

Jetzt soll eine Geradengleichung für \(g_2\) gefunden werden, so dass \(g_2=g_1\) ist. Mit der Bedingung

$$g_2: \space r(\mu) = p_2 + \mu \cdot d_2 = \begin{pmatrix} 5\\ a\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} b\\ 3\end{pmatrix}$$

Damit \(g_2 = g_1\) ist, muss der Punkt \(P_2\) auf \(g_1\) liegen. Dazu habe ich die senkrechte gestrichelte Linie \(x=5\) eingezeichnet. Dort soll \(P_2\) liegen, da seine X-Koordinate \(=5\) sein soll. Ebenso muss er auf \(g_1\) liegen - also kommt nur der Schnittpunkt in Frage und der liegt in diesem Fall genau am Ende des Richtungsvektors von \(g_1\). Folglich ist

$$p_2 = p_1 + 1 \cdot d_1 = \begin{pmatrix} -4\\ 9\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9\\ -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ a\end{pmatrix} $$

\(a\) muss also \(a=4\) sein. Rechnerisch sieht das so aus, dass man den gegebenen Punkt \(P_2=(5;a)^T\) in die Gleichung für \(g_1\) einsetzt:

$$ \begin{pmatrix} 5\\ a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ 9\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 9\\ -5\end{pmatrix}$$

Aus der Gleichung für die X-Koordinate \(5=-4 + \lambda \cdot 9\) folgt, das \(\lambda\) in diesem Fall \(\lambda=1\) sein muss. Einsetzen von \(\lambda=1\) in die Gleichung für die Y-Koordinate \(a=9+ 1\cdot(-5)\) ergibt dann \(a=9-5=4\).

Nun fehlt noch das \(b\). Ich habe Dir ein paar Möglichkeiten für \(b\) in die Skizze eingezeichnet. \(b\) muss so liegen, dass der Vektor \(d_2\) (roter Pfeil) parallel zur Geraden \(g_1\) und damit zu \(d_1\) verläuft. man spricht hier von einer linearen Abhängigkeit. Das heißt es muss ein Wert \(\tau\) existieren, der die Gleichung:

$$d_2 = \tau \cdot d_1$$

erfüllt. Setzt man alles ein, was bekannt ist

$$ \begin{pmatrix} b\\ 3\end{pmatrix} = \tau \begin{pmatrix} 9\\ -5\end{pmatrix}$$

so folgt diesmal aus der Koordinatengleichung für Y:  \(3 = \tau \cdot (-5)\), dass \(\tau\) hier \(=-3/5\) sein muss. Einsetzen von \(\tau\) in die Gleichung der X-Koordinate \(b=\tau \cdot 9 = (-3/5) \cdot 9 = -27/5=-5,4\). Also lautet die Gleichung für \(g_2\)

$$g_2: \space r(\mu) = \begin{pmatrix} 5\\ 4\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -5,4\\ 3\end{pmatrix}$$

Gruß Werner

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Guckst du hier: Identische Geraden (Vektoren). Gleiche Frage andere Zahlen.

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Ich verstehe das nicht ganz wie ich die zwei Punkte herausfinden soll.

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