Einheiten und Nullteiler

Question

Hi,ich such nach einem Ansatz für beide Teilaufgaben. Sind die Menge Z88 alle Zahlen von 1-88?Sind Einheiten teilerfremd und haben Nullteiler einen gemeinsamen Teiler? Wie muss man das begründen?

Comments

Oder ist der Nullteiler ein Element (multiplikativ Inverses) das welches sich über den erweiterten euklidischen Algorithmus berechnen lässt?

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Ich könnte doch erstmal schreiben..

15 mod 88

20 mod 88

63 mod 88

?

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a)

ℤ/88ℤ := ℤ₈₈

Anzahl der Einheiten in ℤ/nℤ werden durch die eulersche phi funktion durch φ(n) angegeben und sie sind die Anzahl aller a für die gilt: ggT(a,n) = 1 mit a ≤ n , a ∈ ℤ/nℤ

φ(88) = φ(2³*11) = φ(2³) * φ(11)

Da 11 Primzahl ist: ggT(a,11) = 1 ist a ∈ {1,2, ... , 10}

Da 2 Primzahl ist:

φ(2³) = 2³ - 2² = 4

denn 1*2,2*2,3*2,4*2 kommen nicht in Frage also 2² Elemente 
(Die Formel ist: φ(p^k) = p^k - p^k-1 = p^k (1 - (1/p) wobei p Primzahl ist und k ∈ ℕ)

also:

φ(88) = φ(2³*11) = φ(2³) * φ(11) = 4 * 10 = 40

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danke!

Nochmal zum Verständnis:

ein Beispiel

φ(72)=φ(2^3*3^2) = φ(2^3)*φ(3^2)= 4*6=24 Elemente 

Kannst du mir sagen, ob ich noch -1 rechnen muss wenn ich die Nullteiler berechnen möchte?

Nullteiler = 88- φ(88) -1? .. Ich frage, weil einige kamen auf das Ergebnis, es gibt 47 Nullteiler in der oberen Aufgabe.

Angenommen ich habe Z8

und ich soll die Nullteiler und Elemente bestimmen:

1 2 3 4 5 6 7 8

dann sind doch 1 3 5 7 teilerfremd zu 8 und demnach sind es Elemente (ihr ggT in Z8 ist jeweils 1, richtig?

Wenn ich jetzt von Z8 alle Nullteiler berechnen möchte, bleiben nur noch 2, 4, 6 und 8. Ist dann die richtige Lösung es gibt 4 Nullteiler, oder muss man hier noch |{0}| abziehen und kommt dann auf 3?