Kern eines Gruppenhomomorphismuses

Question

Aufgabenstellung:

Φ ist ein Gruppenhomomorphismus (R³,+) → (R³,+).

Φ(x, y, z) = (2x+3y+5z, 4x+4y+8z, 6x+5y+4z)

Bestimmen Sie den Kern von Φ für R=ℤ/5ℤ und R=ℤ/6ℤ

Damit habe ich bisher gearbeitet:

ker(Φ) = {(x,y,z) | x,y,z ∈ {[0],[1],[2],[3],[4]} | Φ(x,y,z) = (0,0,0)}

Durch rumprobieren kommen ich bei R=ℤ/5ℤ auf einen Kern von {([0],[0],[0])}

Wie ich das ordentlich zeigen soll weiß ich allerdings nicht.

Für R=ℤ/6ℤ sollte der Kern außerdem weitere Elemente enthalten. Wie ich diese möglichst ohne viel rumprobieren herausfinde ist mir ebenfalls noch unklar.

für jeden Tipp bzw. jede Lösung...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Lineare Abbildung surjektiv Kern

Stichworte: abbildung,kern,lineare,surjektiv

Es sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring und Φ: R^3 → R^3 gegeben durch Φ(x, y, z) = (2x + 3y + 5z, 4x + 4y + 8z, 6x + 5y + 4z). 

(b) Bestimmen Sie den Kern von Φ für  R = Z/5Z. Ist Φ surjektiv? 

(c) Bestimmen Sie den Kern von Φ für  R = Z/6Z. Ist Φ surjektiv? 

ich bin mir nicht sicher wie ich Kern bezüglich Z/5Z bestimmen soll... also bei R^3-->R^3 ist ja klar , 2x+3y+5z=0 , 4x+4y+8z=0, 6x+5y+4z=0) . muss ich also hier alles mit modulo 5 rechnen oder wie mache ich das? Kann jmd. mir paar Tipps geben?

MfG

Answer 1

Kern von Φ für R=ℤ/5ℤ

Dann hast du doch statt Φ(x, y, z) = (2x+3y+5z, 4x+4y+8z, 6x+5y+4z)

nur noch  Φ(x, y, z) = (2x+3y, 4x+4y+3z, x+4z)

Und für den Kern muss also sein 

(2x+3y, 4x+4y+3z, x+4z)  = ( 0 , 0 ,0 ) 

also 

2x+3y= 0    und   4x+4y+3z=0     und   x+4z=0 

2x = -3y = 2y 

      x = y      und     4x+4x+3z=0     und   x+4z=0 

      x = y      und         3x+3z=0     und   x+4z=0

    x = y      und         3x = -3z        und   x = -4z

   x = y      und         3x = 2z        und   x = z

x = y      und         x = 4z        und   x = z   Da war der Fehler!

Also z=4x

Also besteht der Kern aus allen ( x ; x ; 4x ) 

mit  x ∈ ℤ/5ℤ .

                                                            

Comments

Ist \( \varphi(1, 1, 1) = (0, 0, 0) \)?

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2x = -3y = 2y der schritt verstehe ich nicht so ganz..

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Der Kommentar von Mister zeigt einen Rechenfehler auf,

habe ich jetzt korrigiert.  Und 

-3y = 2y  ist richtig weil 2+3=5=0 ,

also ist -3 = 2 .

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Ist jetzt \( \varphi(1, 1, 4) = (0, 0, 0) \)?

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Jemand hat meinen Kommentar missbräuchlich als Spam markiert.

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x = 4z und x = z hieße z = 0 in R = ℤ/5ℤ. Damit ist x = y = z = 0.

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muss ich den Kern mit x ausdrücken oder geht es auch mit y oder z?

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wie kommst du auf 3x = 2z => x=4z und dann 

Kern aus allen ( x ; x ; 4x ) 

hierdurch 

  x = y      und         3x = 2z        und   x = z

hat man doch

x=y                    3x=2x                 x=z

=> x=y=z=0

und damit dann Kern(x,x,x)=Kern(x,y,z)=Kern(0,0,0)

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Hallo mathef, die letzten zwei Zeilen zu deiner Lösung (x, x, 4x) sind mir unklar.  Wie auch immer – ich denke, die Lösung ist falsch.  Setzen wir sie doch mal in die dritte Gleichung
6x + 5y + 4z = 0
ein.  Das gibt
6x + 5x + 16x = 27x ≠ 0.

candys hatte ja auch Zweifel.  Vielleicht kannst du Licht ins Dunkel bringen. 

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Na ja, das war wohl nicht so mein Tag.

Bis hierhin stimmt es ja wohl (hoffentlich):

x = y      und         x = 4z        und   x = z  

und das gibt     4z = z 

                            3z=0 

                                    z=0 

 und so ist in der Tat ( 0;0;0) die einzige Lösung.

candys hat also Recht. Tut mir Leid für

die angestiftete Verwirrung.

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Kein Problem - ich hab mich auch schon vertan  :-)