Φ: (ℤ,+) -> (ℤm, ⊕), x↦modm (x)
wobei x ⊕ y = modm (x+y).
a) Zeigen Sie: Φ ist ein Gruppenhomomorphismus
Hier habe ich bereits gezeigt dass: 1. Φ(e1 ) = e2 wobei e1 aus der ersten Gruppe ist und e2 aus der Zweiten. Beweis: e2 ⊕ Φ(e1 ) = Φ(e1 ) = Φ(e1 +e1) = Φ(e1 ) ⊕ Φ(e1 ). Kann man das so gelten lassen?
Und ebenfalls hab ich gezeigt dass: 2. Φ(x-1) = Φ(x)-1 . Beweis: e2 = Φ(e1 ) = Φ(x+x-1)=Φ(x) ⊕ Φ(x-1) . Hier muss ich sagen, dass ich es mehr oder weniger aus der VL übernommen hab und bin mir nicht sicher ob das so stimmt.
Ich glaube, dass bei Gruppenhom. das Entscheidende ist, dass du zeigst:
(ich nehme mal F statt Phi) : F( x+y) = F(x) ⊕ F(y)
d.h. dass das F sich mit den Operationen der beiden Gruppen verträgt
Das wäre dann F( x+y) = modm (x+y)
[ Zum hoffentlich besseren Verständnis des nächsten Schrittes:
Nun kann man den Rest modm von einer Summe ja auch dadurch bestimmen,
dass man erst mal die Reste der beiden Summanden bestimmt, diese dann
mit der Addition von Z addiert und davon wieder den Rest nimmt.
Kann man sich z.B. bei 14+18 mod 5 klarmachen
die Reste sind 4 und 3, die Summe davon 7 aber dann muss man
wieder den Rest, also 2 nehmen. ]
also ist oben das, das Gleiche wie modm ( modm (x) + modm (y) ) [Add. in Z !!]
und das ist wiederum modm ( F(x) + F(y) )
= F(x) ⊕ F(y)
b) Der kern, das sind alle, die von dem Hom. auf das neutrale El. von
(ℤm, ⊕) abgebidlet werden. Das neutr. El von (ℤm, ⊕) ist die 0 von ℤm
Du musst also nur überlegen, wer von dem Hom. auf 0 abgebildet wird.
Der Hom. ist aber ja nur das Bilden des Restes mod m, also wird das 0
bei allen Zahlen von Z, die durch m teilbar sind, oder andersherum:
Der Kern besteht genau aus den Vielfachen von m.
c) Bei b) sah man schon, dass es kein Isom. ist, denn der müsste
ja injektiv sein. Es werden aber z.B. die beiden verschiedenen Zahlen
m und 2m (die verschieden, weil ja m>0) auf 0 abgebildet.
b) Bestimmen Sie den kern von Φ.
So hier weiß ich bloß, dass der KerΦ eine Untergruppe von von (ℤ,+) ist. und das e1 und das Inverse ebenfalls enthalten sind. Aber ich hab keine Ahnung wie ich sowas zeigen soll.
c) Ist Φ ein Isomorphismus.
Also ich weiß dass ich die Bijektivität zeigen soll. Aber die Modulo Funktion verwirrt mich sehr und bin mir hier ebenfalls sehr unsicher.. Hoffe hier hat jemand gute Ansätze, Tipps etc
