Riccati DGL, Ansatz finden

Question

folgende Aufgabe:

"Zeige, dass das AWP \( x' = t^{4} + x^{2} + 3t^{2}x^{2} , \quad x(0)=0 \) eine eindeutig maximale Lösung auf einem Intervall \( (-T,T), \quad \frac{1}{\sqrt3} < T ≤ \frac{\pi}{2}+1 \) hat.

Tipp: Angenommen \( T > \frac {\pi}{2}+1\), so gilt für alle \( 1≤ t ≤ \frac {\pi}{2} +1\)  : \( \frac {x'(t)}{1+4x^{2}(t)} ≥ 1\)

Integriere von 1 bis t. Für die untere Abschätzung \( T > \frac {1}{\sqrt3} \) benutze Cauchy-Picard-Lindelöf. "

Also, ich weiß noch nicht wie ich beim Rest der Aufgabe vorgehen soll, aber ich hänge schon beim Lösen der DGL. Ich hab herausgefunden, dass ich eine Riccati DGL habe und nun eine partikuläre Lösung bzw. Ansatz brauche, um weiterzurechnen. Allerdings finde ich keinen und weiß nun nicht, wie ich weitermachen soll. Kann jemand helfen ?

Comments

aber ich hänge schon beim Lösen der DGL

"Loesen" steht in der Aufgabe gar nicht.

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und wie soll ich die maximale lösung angeben, wenn ich die dgl nicht löse ?

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Es steht auch nicht "Geben Sie die maximale Lösung an" in der Aufgabe.

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Wie soll ich dann die aufgabe lösen ?

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Verstehen, was ueberhaupt der Inhalt der Aufgabe ist, waere ein guter Anfang. Vielleicht liest Du die Aufgabe noch mal gruendlich durch. Es geht nicht darum, explizit die Lösung hinzuschreiben (was hoechstwahrscheinlich gar nicht geht). Es geht vielmehr darum, die Existenz einer eindeutigen Lösung zu zeigen und eine Abschaetzung für den Definitionsbereich der maximalen Fortsetzung zu liefern.

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studi01

Bist du bei der Aufgabe schon weiter gekommen? Hänge auch gerade an der

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Fuer \(t\ge1\) hat man \(x'\ge1+x^2+3x^2\). Daran schliesst sich unmittelbar die Handlungsanweisung im Tipp an.

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Ich sitze auch mal wieder an der gleichen Aufgabe :D

Ich verstehe ehrlich gesagt noch nicht was ich mit \( x'\ge1+x^2+3x^2 \) machen soll..

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Die Ungleichung aus dem Tipp erhalten, die dann integriert werden soll?

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Hmm ok, ich erhalte dann als eine Lösungskandiaten: $$  x= -1/2 tan(2 - 2 t - arctan(2)) $$

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Meine Frage ist nun wie ich den Lösungsintervall bestimme, um zu gucken ob die Lösung fortsetzbar ist.

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Deine Rechnung ist voellig falsch. Es lohnt aber gar nicht, darueber zu reden, solange Du das Thema der Aufgabe nicht verstanden hast. Es geht nicht darum, die Lösung explizit hinzuschreiben. Erstens ist das nicht verlangt und zweitens ist die Lösung keine elementare Funktion, die man "hinschreiben" koennte.

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Fakename, Sie helfen gar nicht. Wenn man das Thema nicht bis zum Ende versteht, fragt man. Das hat genau der Fragesteller gemacht. Wenn Sie helfen wollen, dann helfen Sie. Aber sonst was bringt uns Ihre grobe Antwort.

Und jetzt zum Thema. Also wie ich verstanden habe, braucht man eine nicht fortsetzbare Lösung. Dafür muss die Funktion stetig und Lipschitzstetig sein und Definitionsbereich offen, oder? Aber wofür müssen wir integrieren?

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:D

Sorry, hab erst jetzt zufällig gesehen, dass hier noch geschrieben wurde.

Ich bin bei der Aufgabe auch nicht weitergekommen. Soweit ich das aber von anderen Beispielen aus der Vorlesung und von anderen Seiten gesehen habe, wurde bzw. konnte man immer explizit eine Lösung angeben und damit weiterarbeiten und die Aufgabe ist schön aufgegangen. Deswegen habe ich, und vielleicht andere auch, das natürlich versucht.

Danke TheCatalyst, bin was Fakename angeht komplett deiner Meinung. Hilft mir nun mal null weiter, wenn man nach Hilfe fragt und jemand sagt, was man nicht machen soll, statt zu helfen.

Was noch die Aufgabe angeht: habe sie nach meinem letzten Beitrag auch nicht mehr weiter bearbeitet, denke aber, dass man mit Lipschitz etwas erreichen konnte. Ich war diese Woche auch leider nicht in den Übungen. Also ich hoffe, dass man die Aufgabe mit den Lösungen etwas besser verstehen kann :)

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Die Lösungen der Aufgaben werden ja in der Uebungsgruppe besprochen. Wartet das doch einfach ab, wenn ihr nur Lösungen "nachvollziehen" wollt.

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Herr Fakename. Wie gesagt, Ihre Kommentare sind gar nicht hilfreich. Ich bin zum Beispiel nicht aus dieser Universität und die Aufgabe ist mir einfach interessant.

Und das ist auf keinen Fall eine Unterhaltung, was wir machen und worauf wir warten sollen ;)

Beste Grüße