Finden Sie zu den folgenden Riccati-Differentialgleichungen jeweils eine spezielle Lösung (durch Raten und Probieren).

Question

Aufgabe:

Finden Sie zu den folgenden Riccati-Differentialgleichungen jeweils eine spezielle Lösung (durch Raten und Probieren). Transformieren Sie damit die Differentialgleichungen zu Bernoulli-Differentialgleichungen. Diese Bernoulli-Differentialgleichungen sollen nicht gelöst werden.

a) y' = (1 − x)y^2 + (2x − 1)y − x

b)  y' = y^2 − (1 / x) y − 4/(x^2)


könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Answer 1

Hallo,

siehe hier:

http://www.massmatics.de/merkzettel/#!510:Riccatische_Differentialgleichungen

zu a)

Durch Raten findet man , das y=1 eine Lösung ist.

Probe:

y=1

y'=0

-->y' = (1 − x)y^2 + (2x − 1)y − x

0= 1-x +2x-1-x

0=0 stimmt

----->

Ansatz:

y=1+z

y'= z'

------>

y' = (1 − x)y^2 + (2x − 1)y − x

z'=  (1 − x)(1+z)^2  + (2x − 1)(1+z) − x

z'=  (1-x)((1+2z +z^2) +2x +2xz -1 -z -x

z'=1 +2z+z^2 -x-2xz -xz^2+2x +2xz -1 -z -x

z'=2z+z^2 -xz^2 -z

z'=z^2(1-x) +z ->Bernoulli DGL

zu b)

y=2/x spezielle Lösung

y=(2/x)+z

y'=z' -2/x2

in die DGL ein.

Lösung:

z'= (3z)/x +z2 ----->Bern.DGL fertig

Comments

Danke erstmal für deine Antwort!

Was soll ich jetzt zu a) noch machen ?

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Was soll ich jetzt zu a) noch machen ? Ist fertig

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Ich habe eine Frage. Zu b) soll ich Ansatz schreiben ?

wie bei a) also y=2/x + z , y'= -2/x^2 + z' oder nicht? und wenn nicht, warum? wann machen wir das und wann nicht? und was soll ich haben damit ich weiß, dass die Lösung schon fertig ist?

Vielen Dank im Voraus! :))

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siehe oben.............................

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Alles Klar dankeschön für deine Hilfe! :))