Monotonie von Partialsummen zeigen

Question

Ich habe folgende Reihe ∑ 3^k/(5^k+1) mit k=1 bis ∞. Nun soll ich die Partialsummen aufstellen. Dies habe ich gemacht, also einfach immer weiter 1, 2, 3, etc. eingesetzt und es sieht danach aus, dass die Reihe durch 1,4 nach oben beschränkt ist. 

Gut, nun soll ich die Monotonie der Partialsummen zeigen. Aber ich weiß nicht genau, wie ich das machen soll. Kann mir da jemand vielleicht helfen?

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Tipp: Alle Summanden sind positiv.

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Formal: s_n+1 - s_n = a_n+1 > 0 ⇒ s_n+1 > s_n, d.h. die Folge der Partialsummen ist streng monoton steigend.

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Also einfach per Induktion beweisen?

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Ohne Induktion. Es ist s_n+1 > s_n für alle n ∈ ℕ.

Answer 1

Was sollst du genau zeigen? Das sie Partialsummen streng monoton steigend sind ?

Also das s(n + 1) > s(n) ist ?

Oder sollst du die Beschränkung zeigen. Dazu kannst du mit 3^k/5^k eine Majorante nehmen.

Comments

Nein, das mit der Majorante muss ich zwar auch machen, das kriege ich aber hin. Ein anderer hat ja die positiven Summanden angesprochen. Das ist ja klar, das weiß ich auch. Jedoch bin ich mir nicht sicher, wie ich das formal richtig beweisen soll. Einfach per Induktion?

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s(n + 1) > s(n)

s(n) + 3^k/(5^k+1) > s(n)

3^k/(5^k+1) > 0

Ein Bruch ist positiv wenn sowohl Zähler als auch Nenner positiv sind.

Mehr brauchst du nicht machen.

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Ja das hab ich soweit. Eine Frage zur Majorante, wenn ich nun weiß, dass 3^k/(5^k+1) <= 3^k/5^k ist. Kann ich 3^k/5^k weiter kürzen?

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3^k/5^k = (3/5)^k = 0.6^k

Erinnert dich das dann eine geometrische Reihe

∑ (x = 1 bis ∞) 0.6^k

= ∑ (x = 0 bis ∞) 0.6^k - 0.6^0

= 1/(1 - 0.6) - 0.6^0 = 1.5

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Ich habs erst mit der geometrischen Summenformel umgeformt und habs dann gelöst, danke! (y)