2^x=16 ohne Logarithmus lösen

Question

Ich soll 2^x=16 lösen und erklären, warum und wie man das ohne Logarithmus lösen kann.

Answer 1

Wenn es gelingt, die Potenzgleichung a ^x = y durch fortlaufendes Dividieren oder Multiplizieren mit der Basis a in die Form a ^{( x ± k )} = 1= a ⁰ zu bringen, dann kann man den Exponenten x durch den Exponentenvergleich

x ± k = 0 <=> x = -/+ k

berechnen. Das führt aber nur dann zum Erfolg, wenn y auch tatsächlich eine ganzzahlige Potenz von a ist. Das ist dann nicht der Fall, wenn beim fortlaufenden Multiplizieren bzw. Dividieren der Wert der Potenz den Wert 1 über- bzw. unterschreitet.

Beispiele:

2 ^x = 16

[Fortlaufende Division durch die Basis 2 ergibt:]

<=> 2 ^{( x - 1 )} = 8

<=> 2 ^{( x - 2 )} = 4

<=> 2 ^{( x - 3 )} = 2

<=> 2 ^{( x - 4 )} = 1 = 2 ⁰

<=> x - 4 = 0

<=> x = 4

 

2 ^x = 1 / 4

[Fortlaufende Multiplikation mit der Basis 2 ergibt:]

<=> 2 ^{( x + 1 )} = 1 / 2

<=> 2 ^{( x + 2 )} = 1 = 2 ⁰

<=> x + 2 = 0

<=> x = - 2

 

Hingegen:

3 ^x = 36

<=> 3 ^{( x - 1 )} = 12

<=> 3 ^{( x - 2 )} = 4

<=> 3 ^{( x - 3 )} = 4 / 3

<=> 3 ^{( x - 4 )} = 4 / 9 < 1

=> 36 ist keine ganzzahlige Potenz von 3.

Comments

4^x = 32

4^{x-1} = 8

4^{x-2} = 2¹

jetzt kann man noch schauen, ob Wurzeln reinkommen 4 = 2^y

4 : 2 = 2^{y-1}

2^1 = 2^{y-1}

1 = y-1

2 = y

----> 2-te Wurzel

Daher:

4^{1/2} = 2  

4^{x-2} = 2¹ = 4^{1/2}

x-2 = 0.5

x = 2.5

Kontrolle: 4^{2.5} = 32       

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Aber wie ist das dann bei 2^x=1 und 2^x=3wurzelaus 4???

irgendwie versteh ich das mit den mal 2 multiplizieren nicht.....

wir haben das in der Schule nämlich nicht gemacht nur als Hausaufgabe bekommen, und als Anmerkung steht dabei a^u=a^v

Answer 2

 

vielleicht so: 

2^x = 16 

bedeutet:

Wie oft muss ich 2 mit sich selbst multiplizieren, um auf 16 zu kommen?

2^x = 16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 2⁴

Daraus folgt

x = 4

Ich hoffe, dass diese Erklärung ausreichend ist. 

Besten Gruß

Comments

Und wie ist es dann beim Bsp 2^x=0,25???

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Die Methode 2^x = 2^4 usw. funktioniert leider nur, wenn die Zahl (hier 16 oder 1/4) aus einem Produkt  von 2 oder 1/2 mit sich selbst ist. Ansonsten braucht man den Logarithmus.

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Schwieriger :-)

2^x = 0,25 = 1/4 = 1/2² = 2^-2

x = -2

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Oh, ich glaub jetzt check ich's ;)

danke

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Das freut mich!!

Sehr gern geschehen :-)

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@Anonym: Schau dir diese beiden Videos an, um

1. den Logarithmus zu verstehen

 

2. mit ihm Aufgaben dieser Art (sog. Exponentialgleichungen) zu lösen

Answer 3

16  ->     √16    =      4
->  4  *4  =   16

√4   =   2      
2 *2 *2 *2  =   4 *4  =  √4 *√4 *√4 *√4    =    √16 *√16


vielleicht eine möglichkeit

Comments

Aber es ist ja dann eig 2=xwurzel16

Answer 4

$$2^x$$ = 16

$$2^x$$ heißt $$\underbrace{2 \cdot ... \cdot 2}{ \text{x - mal} }$$ .

Wie oft also muss man die 2 mit der 2 multiplizieren, so dass 16 raus kommt?
$$2 \cdot 2 = 4$$  Nein! $$\rightarrow$$

$$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$ Nein! $$\rightarrow$$

$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$ Richtig!  $$ \Rightarrow x = 4 $$


Alles klar? :).  Gruß