0 Daumen
449 Aufrufe

Ich schaffe den Beweis folgender Induktion nicht:




2n−1     2n−1
1k   =(−1)k+1k
k=n     k=1



Ich wäre sehr dankbar!

,
Gweni

(Sorry für die Darstellung →2n−1 Endwert in beiden Gleichungen über Σ;;;k=n links, k=1 rechts)

Avatar von

Was soll unter der Summe jeweils stehen?

Weshalb schreibst du 1k , soll es 1/k sein?

Auf der rechten Seite steht (-1)k+1k=0 ?

Oh da ist etwas verrutscht:

2n−1     2n−1
1/k   = ∑ ((−1)^{k+1})/k
k=n         k=1

1 Antwort

+1 Daumen

Für n=1 ist es wohl klar.

Angenommen, es stimmt für n, dann gilt

$$ \sum_{k=n+1}^{2(n+1)-1}{\frac{1}{k}} $$
$$ =\sum_{k=n+1}^{2n+1}{\frac{1}{k}} $$
Jetzt soll aber die Summe bei n beginnen, also müssen wir den
zusätzlichen Summanden wieder abziehen
$$ = -\frac{1}{n}\sum_{k=n}^{2n+1}{\frac{1}{k}} $$
Und damit die Ind. vor. greift, werden die letzten beiden extra notiert
$$ = -\frac{1}{n}\sum_{k=n}^{2n-1}{\frac{1}{k}} +\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}$$
$$ =\sum_{k=n}^{2n-1}{\frac{1}{k}} +\frac{1}{2n} -\frac{1}{n}+\frac{1}{2n+1}$$
$$ =\sum_{k=n}^{2n-1}{\frac{1}{k}} +\frac{-1}{2n} +\frac{1}{2n+1}$$
Nun die Ind. vor.
$$ =\sum_{k=1}^{2n-1}{\frac{(-1)^k}{k}} +\frac{-1}{2n} +\frac{1}{2n+1}$$
und weil 2n+2 gerade und 2n+1 ungerade sind
$$ =\sum_{k=1}^{2n-1}{\frac{(-1)^{k+1}}{k}} +\frac{(-1)^{2n+1}}{2n} +\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}$$
$$ =\sum_{k=1}^{2(n+1)-1}{\frac{(-1)^{k+1}}{k}} $$

Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community