Beweis zum K-Vektorraum: Zeigen, dass v1, ... ,vn linear unabhängig sind.

Question

Kann mir jemand erklären wie ich das beweisen kann ? Ich versteh die Aussage nicht .

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$${ w }_{ 1 },...,{ w }_{ n }\quad linear\quad unabhängig:\\ Es\quad gibt\quad Skalare\quad { a }_{ 1 },...,{ a }_{ n }\quad \in \quad K\quad so\quad dass\quad \\ { a }_{ 1 }{ w }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }{ w }_{ 2 }+...+{ a }_{ n }{ w }_{ n }=0_{ V }\quad mit\quad { a }_{ 1 }=...={ a }_{ n }=0$$
$$ { w }_{ 1 }=\frac { { v }_{ 1 } }{ { c }_{ 1 } } \quad ,...,\quad w_{ n }=\frac { { v }_{ n } }{ { c }_{ n } } \quad \quad ,\quad es\quad gilt \quad c_{ 1 },...,c_{ n }\quad \neq \quad 0$$
$$\frac { { a }_{ 1 } }{ { c }_{ 1 } } { v }_{ 1 }+\frac { { a }_{ 2 } }{ { c }_{ 2 } } { v }_{ 2 }+...+\frac { { a }_{ n } }{ { c }_{ n } } { v }_{ n }={ 0 }_{ V }\quad \\ \\ \frac { { a }_{ 1 } }{ { c }_{ 1 } } =...=\frac { { a }_{ n } }{ { c }_{ n } } =0\quad ,\quad denn\quad { a }_{ 1 }=...={ a }_{ n }=0\quad und\quad c_{ 1 } ,.. ,c_{ n }\quad \neq \quad 0$$

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Unabhängigkeit echte teilmenge

Stichworte: unabhängig,linear,vektorraum

Wie habe ich die beiden Aussagen  zu zeigen  ? Kann mir jemand das erklären ?

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Das ist eine andere Aufgabe

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Dann bitte vollständige Fragestellung und Fragestellung als Text. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Es könnte ja z.B. immer noch ein k-Vektorraum sein.

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zu (b) ? bzw. die aufgabe mit der linearen hülle gibt es gegenbeispiele

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können sie mir dazu ein Gegenbeispiel geben?

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es gibt keines entschuldige da

$$Lin({ v }_{ 1 },\quad { v }_{ 2 },\quad ..\quad ,\quad { { v }_{ n-1 })\quad = }\quad \left\{ { \alpha  }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\quad +\quad { \alpha  }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\quad +\quad ...\quad +\quad { \alpha  }_{ n-1 }{ v }_{ n-1 }\quad \quad |\quad { \alpha  }_{ i }\quad \in \quad K\quad für\quad 1\quad \le \quad i\quad \le \quad n-1 \right\} \quad \\ \\ { v }_{ n }\quad \notin \quad Lin({ v }_{ 1 },\quad { v }_{ 2 },\quad ..\quad ,\quad { { v }_{ n-1 })\quad  },\quad dann\quad lässt\quad sich\quad { v }_{ n }\quad nicht\quad als\quad Linearkombination\quad von\\ \\ { \alpha  }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\quad +\quad { \alpha  }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\quad +\quad ...\quad +\quad { \alpha  }_{ n-1 }{ v }_{ n-1 }\quad schreiben\quad $$

aber das ist kein richtiger beweis

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$${ v }_{ 1 }\quad =\quad \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\quad ,\quad { v }_{ 2 }\quad =\quad \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\quad \\ \\ { v }_{ 3 }\quad =\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \\ Lin({ v }_{ 1 }\quad ,\quad { v }_{ 2 })\quad \subset \quad V={ R }^{ 3 }\\ \\ { v }_{ 3 }\quad \notin \quad Lin({ v }_{ 1 }\quad ,\quad { v }_{ 2 })\\ \\ Da\quad die\quad lineare\quad Hülle\quad ein\quad Erzeugendensystem\\ aber\quad kein\quad minimales\quad Erzeugendensystem\quad sein\quad muss,\quad \\ können\quad die \quad Vektoren\quad darin \quad linear\quad abhängig\quad sein\\ und\quad wenn\quad man\quad zu\quad einer\quad Menge\quad linear\quad abhängiger\quad Vektoren\quad \\ einen\quad Vektor\quad ergänzt,\quad sind\quad diese\quad wieder\quad linear\quad abhängig.$$

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zu der letzten aufgabe würde ich sagen:

$$\\ \\ \\ \\ { 0 }_{ V }\quad =\quad \sum _{ i=2 }^{ n }{ { \alpha  }_{ i }{ v }_{ i } } \quad ,\quad { \alpha  }_{ i }\quad =\quad 0\quad \quad für\quad 2\quad \le \quad i\quad \le \quad n\\ \\ { 0 }_{ V }\quad =\quad \sum _{ i=1 }^{ n-1 }{ { \beta  }_{ i }{ v }_{ i } } \quad ,\quad { \beta  }_{ i }\quad =\quad 0\quad für\quad 1\quad \le \quad i\quad \le \quad n-1\\ \\ { 0 }_{ V }\quad +\quad { 0 }_{ V }\quad =\quad { 0 }_{ V }\quad =\quad { \beta  }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\quad +\quad \sum _{ i=2 }^{ n-1 }{ { ({ (\alpha  }_{ i }\quad +\quad { \beta  }_{ i } }){ v }_{ i }) } +\quad { \alpha  }_{ n }{ v }_{ n }\quad $$

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bloß sind es nicht alle Teilmengen aber man kann ja darauf schließen

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$${ 0 }_{ V }\quad =\quad { \alpha  }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\quad +\quad { \beta  }_{ n }{ v }_{ n }\\ \\ { 0 }_{ V }\quad +\quad { 0 }_{ V }\quad +\quad { 0 }_{ V }\quad =\quad { 0 }_{ V }\quad =\quad { (\alpha  }_{ 1 }\quad +\quad { \beta  }_{ 1 }){ v }_{ 1 }\quad +\quad \sum _{ i=2 }^{ n-1 }{ { ({ (\alpha  }_{ i }\quad +\quad { \beta  }_{ i } }){ v }_{ i }) } +\quad { (\alpha  }_{ n }\quad +\quad { \beta  }_{ n }){ v }_{ n }\quad $$

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warum ist das jetzt zu einer Antwort geworden? da sind doch einige fehler drin... löschen fände ich besser : )

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komme mir sonst vor wie ein zirkus clown

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EDIT: @gollumgollumgirl: Bei TeX kann ich Fehler nicht korrigieren. Ist mir zu unübersichtlich. War das denn ursprünglich auch deine Frage?

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nicht ganz den teil habe ich eigentlich schon abgeschlossen aber genau deswegen interessieren mich nun solche fragen...

Answer 1

Sei K = ℝ, V = ℝ² , n = 2, v₁ = (4 6)^T , v₂ = (6 9)^T.

Dann ist w₁ = (1 0)^T , w₂ = (0 1)^T ein linear unabhängiges System von Vektoren und es gilt

        v₁ = 4w₁ + 6w₂
        v₂ = 6w₁ + 9w₂.

Die Skalare in diesen Linearkombinationen liegen in ℝ\{0}. In Teilaufgabe (a) wird  behauptet, dass dann auch v₁, v₂ ein linear unabhängiges System ist.