0 Daumen
1k Aufrufe

Wie überprüft man bei der 4.5 ob die Funktionen linear unabhängig sind?

Ich hab solche Aufgaben schon lange nicht mehr gerechnet und bräuchte ein wenig Hilfe hierzu.

Bild Mathematik

Avatar von 3,5 k

Gute Einstiegsfragen waeren: (i) Was bedeutet es, wenn zwei Elemente von V gleich sind? (ii) Was ist das Nullelement von V?

1 Antwort

0 Daumen

p1, p2, p3 lin. unabh wenn aus

  a*p1 + b*p2 + c*p3 = 0-Polynom  folgt a=b=c=0.

also a*x3 + b*(x-1)3 + c*( x2 - 1/9) = 0

a*x3 + b*(x3 - 3x2 + 3x -1) + c*( x2 - 1/9) = 0

(a+b)*x3 + (- 3b+c)x2 + 3bx +    (-b -  c/9) = 0

Vermutlich ist sowas bekannt wie:

Beim 0-Polynom sind alle Koeffizienten 0, also dann

a+b= 0   und    - 3b+c=0  und    3b=0    und -b -  c/9 = 0

Daraus folgt in der Tat  a=b=c=0 , also sind sie lin. unabh.

Basis wäre wohl 1  ,   x  ,   x2   , x3

Avatar von 289 k 🚀

Hallo Simon,

die Polynome p1, p2, p3 sind linear unabhängig, wenn aus a*p1 + b*p2 + c*p3 folgt, dass
a=b=c=0 gilt.
Du müsstest also a,b,c für a*x^3 + b*(x-1)^3 + c*(x^2 - 1/9) = 0 berechnen.

Grüße


Wie kann man noch zeigen das dies tatsächlich eine Basis ist?

Mit einer Basis kann man ja alle Elemente der Menge "erreichen".

Wie zeige ich das das der Fall ist?

wenn du z.B. das Polynom  5x3 + 6x2 - 7x + 9 hast,

dann ist da ja gerade  5*x3 + 6x*2 +  (- 7)*x + 9 * 1

Das kannst du auch allgemein mit abcd machen

also bilden 1  ,   x  ,   x2   , x3 ein  Erzeugendensystem. für V.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community