Sind die funktionen linear unabhängig

Question

Wie überprüft man bei der 4.5 ob die Funktionen linear unabhängig sind?

Ich hab solche Aufgaben schon lange nicht mehr gerechnet und bräuchte ein wenig Hilfe hierzu.

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Gute Einstiegsfragen waeren: (i) Was bedeutet es, wenn zwei Elemente von V gleich sind? (ii) Was ist das Nullelement von V?

Answer 1

p1, p2, p3 lin. unabh wenn aus

  a*p1 + b*p2 + c*p3 = 0-Polynom  folgt a=b=c=0.

also a*x³ + b*(x-1)³ + c*( x² - 1/9) = 0

a*x³ + b*(x³ - 3x² + 3x -1) + c*( x² - 1/9) = 0

(a+b)*x³ + (- 3b+c)x² + 3bx +    (-b -  c/9) = 0

Vermutlich ist sowas bekannt wie:

Beim 0-Polynom sind alle Koeffizienten 0, also dann

a+b= 0   und    - 3b+c=0  und    3b=0    und -b -  c/9 = 0

Daraus folgt in der Tat  a=b=c=0 , also sind sie lin. unabh.

Basis wäre wohl 1  ,   x  ,   x²   , x³

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Hallo Simon,

die Polynome p1, p2, p3 sind linear unabhängig, wenn aus a*p1 + b*p2 + c*p3 folgt, dass
a=b=c=0 gilt.
Du müsstest also a,b,c für a*x^3 + b*(x-1)^3 + c*(x^2 - 1/9) = 0 berechnen.

Grüße

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Wie kann man noch zeigen das dies tatsächlich eine Basis ist?

Mit einer Basis kann man ja alle Elemente der Menge "erreichen".

Wie zeige ich das das der Fall ist?

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wenn du z.B. das Polynom  5x³ + 6x² - 7x + 9 hast,

dann ist da ja gerade  5*x³ + 6x*² +  (- 7)*x + 9 * 1

Das kannst du auch allgemein mit abcd machen

also bilden 1  ,   x  ,   x²   , x³ ein  Erzeugendensystem. für V.