Beweisen mit vollständiger Induktion 5 | ( 7^n - 2^n )

Question

Ich hoffe jemand ist so nett und hilft mir bei diese Aufgabe weiter. Ich habe es bis zum I.Schritt geschafft allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich das richtig habe ( Siehe Bild ).

Ich habe die 7 einfach ausgeklammert und 5 als Vorfaktor gesetzt somit ist das dann durch 5 teilbar [ also 5(2+08) ]

Wenn das falsch ist könnte mir jemand dann die Lösung aufschreiben ? Wäre sehr dankbar dafür 

Answer 1

Die zweitletzte Zeile im Bild ist noch ok. Aber dann darfst du nicht direkt Punkt- und Strichrechnungsregel ignorieren. 

Comments

Was müsste ich dann stattdessen machen ?

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Weiss ich auch (noch) nicht.

Vielleicht so was:

7^{n+1} - 2^{n+1} 

= 7*7^n - 7*2^n  + 7*2^n   - 2*2^n 

= 7*(7^n - 2^n) + (7-2)*2^n     | IV

= 7*5*m  + 5*2^n 

= 5*(7m + 2^n) 

und das ist dann bestimmt durch 5 teilbar. 

PS. Ganz zu Beginn würde ich noch ergänzen: 7^1 - 2^1 = 5 ist durch 5 teilbar. 

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Ich verstehe nicht weshalb du jetzt m dazu geholt hast .. bin leider komplett durcheinander 

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(7ⁿ - 2ⁿ) ist durch 5 teilbar bedeutet: 

Es gibt ein m Element N mit m*5 = (7^n - 2^n).

Und letztlich kann ich dann zeigen, dass es ein k Element N gibt mit 

7ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ 

=.... 

= 5*(7m + 2ⁿ) 

= 5*k .

Damit ist gezeigt, dass auch 7ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ durch 5 teilbar ist.