Quadratische Gleichung mit Modulo 15

Question

 Quadratische Gleichungen kann ich normalerweise lösen. Das Modulo 15 bereitet mir Probleme. Dank für die Hilfe und noch einen schönen Abend!

Answer 1

x² + 7x + 12 = 0 

Für die quadratische Ergänzung musst du ja die 7 in 2*z zerlegen

Und in Z15 ist  2^-1 = 8 . weil 2*8=1 , also ist z= 8*7 = 11

Dann hast du    x² + 7x + 12 = 0 

              x² + 2*11*x + 12 = 0 

               x² + 2*11*x +11² - 11²  + 12 = 0

                 x² + 2*11*x +1 - 1 + 12 = 0

                    (x+11)²    + 11 = 0

                       (x+11)²    =   - 11 = 4 

und die beiden Wurzeln von 4 sind  2 und  13, also 

  x+11 = 2      oder x+11 = 13 

      x = -9 = 6        oder   x = 2 

Probe:  x² + 7x + 12 = 0 

         2*2 + 7*2 + 12 = 4 + 14 + 12 = 30 = 0 Passt !

          6*6 + 7*6 + 12 = 36 + 42 + 12 = 90 = 0 Passt auch !

              

Answer 2

Hallo. Es gibt vier verschiedene Lösungen modulo 15...