Reihe. Zeigen: Wenn Reihe P∞ n=1 an konvergiert, so gilt inf {n an : n ≥ k} = 0 für alle k ∈ N.

Question

) Es sei (an)n∈N eine reelle, nicht-negative Folge.

(a) Zeigen Sie: Wenn die Reihe P∞ n=1 an konvergiert, so gilt inf {n an : n ≥ k} = 0 für alle k ∈ N.

 (b) Gilt auch die Umkehrung von (a)?

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Vom Duplikat:

Titel: inf von konvergenter Reihe

Stichworte: reihe,cauchy,konvergenz,limes

Es sei (an)n∈N eine reelle, nicht-negative Folge.

a)Zeigen Sie: Wenn die Reihe ∞∑ n=1 an konvergiert, so gilt inf {n an : n ≥ k} = 0 für alle k ∈ N.

(b) Gilt auch die Umkehrung von (a)? 

a) ist ja eig. ganz logisch, dass wenn an eine nicht negative Folge ist , ist die untere Schranke natürlich auch 0 für n>=k.. Aber wie soll man dies beweisen?

MfG

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EDIT:

Bitte in  " P∞ n=1 an konvergiert, so gilt inf {n an : n ≥ k} = 0 für alle k ∈ N. " farbige Stellen präzisieren / korrigieren / formatieren und am besten in Worten die Formeln noch vorlesen. 

Answer 1

ich unterstelle mal, das eine Reihe

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$

gemeint ist und nicht ein Produkt \(\prod_{n=1}^{\infty}a_n\). Dann lässt sich die Aussage mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises lösen:

Angenommen es existiert ein \(k \in \mathbb{N}\) für das eine größere untere Schranke \(\epsilon > 0\) mit

$$\inf \{ a_n \mid n \ge k\} = \epsilon$$

existiert. Dann gilt für jedes \(a_n \mid n \ge k\) dass \(a_n \ge \epsilon\) ist. Daraus folgt, dass

$$\lim_{i \to \infty} \sum_{\colorbox{#F0F000}{n}=1}^i a_n \ge \lim_{i \to \infty} \sum_{\colorbox{#F0F000}{n}=k}^i a_n \ge \lim_{i \to \infty} \epsilon(i - k + 1) = \infty$$

und das ist ein Widerspruch zu der Vorgabe, dass die Reihe konvergiert.

(b) Nein - die Umkehrung gilt nicht. Gegenbeispiel ist die Harmonische Reihe.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty \quad \text{mit } a_n = \frac{1}{n}$$

Hier gilt auch, dass \(\inf\{ a_n \mid n \ge k\} = 0\) ist.

Gruß Werner

Edit: Tippfehler korrigiert; gelbe Markierung

Comments

Was heißt \(\displaystyle\lim_{i\to\infty}\sum_{i=1}^ia_n\) ?

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\(\displaystyle \lim_{i \to \infty} \sum_{n=1}^i a_n\) ist das selbe wie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\).

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Vermutlich liegt lediglich ein Tippfehler vor.

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Oh .. jetzt sehe ich das erst. Ja, ein profaner Tippfehler - ich korrigiere das.