Zeigen Sie dass die Folge gegen |b| konvergiert

Question

Es sei (b_n)n ist element von N eine konvergente Folge mit Grenzwert b. Zeigen Sie, dass die Folge

(|b_n|) n ist element von N gegen |b| konvergiert

Answer 1

Scan0063.pdf (0,3 MB)

Answer 2

Wenn b_n gegen b konvergiert, dann gilt :

Für jedes eps>0 gibt es ein no mit  n>no ==>  | b_n - b | < eps.

Wegen der sog. umgekehrten Dreiecksungleichung ( siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung  )

gilt aber    |  | b_n | - |b| |  ≤   | b_n - b | , also folgt aus   | b_n - b | < eps.

auch      |  | b_n | - |b| |  < eps , was du für die Konvergenz von

    |b_n |  gegen    |b| brauchst.

Comments

Muss ich Fallunterscheidung nicht machen?: b>0, b<0, b=0.
Im 1. Fall sind alle bn>0 ab bestimmten N, im 2. Fall sind alle bn<0 ab bestimmten N.
Im 3. Fall spielt das Vorzeichen keine Rolle

oder reicht es das zu schreiben was sie geschrieben haben?