Größtmöglicher Inhalt des Dreieckes ist gesucht

Question

Hallo Community.

a)Der Punkt Q (x/ f1(x)) bildet mit dem Punkt (0/0) und dem punkt R (x/o) ein Dreieck, das parallel zur achse ist. (0<gleich x < gleich 6.

Bestimme die Koordinaten von Q so, dass der Inhalt des Dreieckes maximal ist.

b) Ein Dreieck wird durch eine Tangente,die durch p  (4a/ 4/3a) läuft und die Koordinatenachsen eingeschlossen.

für welches a hat das Dreieck den Inhalt 384?

c) Der graph jeder Funktion fa schließt mit der x-achse eine fläche ein. bestimmen sie den Inhalt dieser fläche in Abhängigkeit von a

a-c. beziehen sich auf die funktionenschar fa(x) 1/12 x hoch 3- x hoch 2 + 3ax (a ist ein element der rellen zahlen. a ist größer als 0)

würde mich über hilfe sehr freuen.

Comments

Stell einmal ein Foto der Aufgabe ein.
In deinem Text scheinen mir eine Menge
Fehler zu sein.
mfg Georg

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ich denke es müsste die aufgabe sein. Ich war letzte stunde nicht da aber das ist ja genau die gleich fkt mit angaben nur dass einige varablen anders gewählt worden sind. Also ist es wahrscheinlich sinnvoller wenn wir uns an das foto halten

Answer 1

fa(x) = 1/(12·a)·x^3 - x^2 + 3·a·x

a)

b)

f1(x) = 1/12·x^3 - x^2 + 3·x

A = x·f1(x) = x·(1/(12)·x^3 - x^2 + 3·x) = 1/12·x^4 - x^3 + 3·x^2

A' = 1/3·x^3 - 3·x^2 + 6·x = 0 --> x = 3

f1(3) = 2.25

c)

t(x) = f'(4·a)·(x - 4·a) + f(4·a) = 16/3·a^2 - a·x

y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 16/3·a^2

Nullstelle f(x) = 0

16/3·a^2 - a·x = 0 --> x = 16/3·a

A = 1/2·g·h = 1/2·(16/3·a)·(16/3·a^2) = 128/9·a^3 = 384 --> a = 3

d)

A = ∫(f(x), x, 0, 6·a) = 9·a^3

Answer 2

b.)
a = 1
f ( z ) = 1/12 * z^3 - z^2 + 3 * z
Nullstellen z = 0 ; z = 6

Dreieck ( z ) = 1/2 * z * ( 1/12 * z^3 - z^2 + 3 * z )
Dreieck ´ ( z ) = 1 / 2 * ( 1/3 * z^3 - 3 * z^2 + 6 * z )
Extremwert
1 / 2 * ( 1/3 * z^3 - 3 * z^2 + 6 * z ) = 0
( 1/3 * z^3 - 3 * z^2 + 6 * z ) = 0
z * ( 1/3 * z^2 - 3 * z + 6  ) = 0
Satz vom Nullprodukt
z = 0 ( Minimum )
und
z = 3 ( Maximum )
und
z = 6 ( Minimum )

P ( 3 | f ( 3 ) )

Welche Aufgabenteile sollen noch berechnet werden ?

Comments

Vielen Dank für insbesondere deine Skizze. Mit deiner Hilfe und der Hilfe des Mathecoaches habe ich die Aufgabe verstanden - danke!

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Lieber Georg Born,

irgendwie verstehe ich noch nicht so recht, weshalb a =1 ist und zudem verstehe ich nicht, warum man der teil in der klammmer die Funktion ist.

um ein Dreieck zu berechnen rechnet man doch immer : 1/2 g mal h.

Dass für g mit z gerechnet wird verstehe ich noch. aber warum für g mal h die Funktion?

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Hallo Guido,
irgendwie verstehe ich noch nicht so recht, weshalb a =1 ist
Dies ist in der Aufgabenstellung angegeben. Die Teilaufgabe soll für f ₁ ( x ) berechnet werden.

Wie du schon sagtest ist der Flächeninhalt
für ein Dreieck
1 / 2 * Grundseite mal Höhe

Die Grundseite hat die Länge z.
Die Höhe ist der Funktionswert an der Stelle z.

A ( z ) = 1/2 * z * f₁ (z)
Nun für f₁ ( z ) die komplette Funktion einsetzen.
A ( z ) = 1/2 * z * ( 1/12 * z³ - z² + 3 * z )

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@derMathecoach

könntest du mir vielleicht erklären, wie du auf die teilrechnungen bei b und c gekommen bist?

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wie dumm von mir.. vielen dank herr Born!

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Zum Fragenstellen ist das Forum da.
Falls du weitere Nach-/ Fragen hast dann
wieder melden.
Auch c.) oder d.)

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C) und d) verstehe ich leider wirklich nicht so ganz. Ganz besonders große probleme habe ich bei d)..

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Hier zunächst c.)
1.Ableitung bilden
die x Koordinate des Wendepunkts einsetzen
und damit die Steigung m der Wendetangente
berechnen. m = -a

Die Wendetangente veräuft durch
den Wendepunkt.
b als y-Achsenabschnitt berechnen.
Die Nullstelle auf der x-Achse berechnen.
Den Flächeninhalt des Dreiecks mit
x * y / 2 = 384 nach a berechnen
a = 3

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Ein Fall für eine Integralrechnung

Nullpunkte
f ( x ) = 1/(12a) * x^3 - x^2 + 3ax = 0
x *  (1/12a) * x^2 - x + 3a )  = 0
x = 0
und
x = 6a

( 0 | 0 ) und (  6a | 0 )
Stammfunktion
S ( x ) = ( 1/12a) * x^4 / 4 - x^3/3 + 3ax^2/2
[ S ( x ) ] zwischen 0 und 6a
9 * a^3

Answer 3

So,wie die Aufgabe 12 b) Formuliert ist, hat das Dreieck OQP den Flächeninhalt F_a(z)=1/2·z·f(z), Das ist eine Kurvenschaar und es gibt kein maximales Dreieck.(die Fläche wächst mit a über alle Grenzen). Sowohl die Bedingung 0≤z≤6 als auch der rote Graph in der Skizze lassen vermuten,dass a=1 gelten soll.