Fundamentalmatrix, Wronski-Determinante, Satz von Liouville

Question

Ich habe hier ein homogenes DGL-System. Um das zu lösen, habe ich Eigenwerte, -vektoren und das LFS aufgestellt.Meine Fundamentalmatrix sieht dann aus wie folgt:\( X(t)=\begin{pmatrix}  \frac{-\sqrt{2}}{t} & \frac{\sqrt2}{t}\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) mit \( W(t)= \frac{-2\sqrt2}{t} \) als Wronski-Determinante.Bis hierhin sah es auch ganz ok aus. Aber als ich den Satz von Liouville überprüfen wollte, hat es nicht hingehauen. Kann einer sagen, wo der Fehler ist ?

Comments

So geht das halt, wenn man nicht sieht, dass t die unabhaengige Variable ist, und deshalb die Koeffizienten nicht konstant sind. Da ist nix mit Eigenwerten,-vektoren und Exponentialfunktion zu holen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x'(t)%3D-2%2Ft^2*y(t),+y'(t)%3D-x(t)

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Dass t eine Variable ist, hab ich schon gesehen. Ich kenne aber nur den Weg über Eigenwerte und Vektoren. Hatten vorher nie eine andere Variante.

Also keine Ahnung wie ich da anders oder überhaupt an die Aufgabe rangehen soll, wenns mir Eigenwerten und Vektoren nicht funktioniert.

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Ein allgemeines Verfahren zur Lösung von linearen Systemen von Dglen mit nichtkonstanten Koeffizienten ist nicht bekannt. Ueberlege Dir selber was für Dein konkret gegebenes System.

Da die Lösungen jetzt bekannt sind, kann man auch tricksen. Behaupte, Du waerst selber draufgekommen, es mit einem Potenzfunktionen-Ansatz zu probieren: \(x_1=c_1t^{a_1}\) und \(x_2=c_2t^{a_2}\).

Answer 1

Musst Du Deine Eigenvektoren nicht noch mit $$ e^{Eigenwert*x} $$ multipliziert werden ?

Comments

Also wenn ich mein Fundamentalsystem aufstelle, dann hab ich zb \( LSF = \{ {u(x)}_{1}, {u(x)}_{2} \} \) mit \( {u(x)}_{1} = {c}_{1}{e}^{{\lambda}_{1}x}*EV1, \quad  {u(x)}_{2} = {c}_{1}{e}^{{\lambda}_{2}x}*EV2 \)

Ich hab angenommen, dass meine Fundamentalmatrix dann "nur" aus meinen Eigenvektoren besteht. Habe das so aus einigen Beispiel verstanden, da die Matrix nirgendwo explizit angegeben wird

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Die Fundamentalmatrix besteht aus den Lösungen des Differentialgleichungssystems und da gehört $$ e^{\lambda*x} $$ dazu. Sonst wäre es doch keine Lösung.

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Ok.

Aber auch wenn ich die \( {e}^{\lambda x} \) mit reinnehme, kriege ich dieselbe Determinante wie oben.