Kostenfunktion; Gleichung ermitteln

Question

a) In einem Betrieb wird Spielzeug hergestellt. Die Betriebskosten lassen sich durch eine quadratische Funktion darstellen, wobei bei der Erzeugung von 200 Stück die Kosten 1100 GE und die Grenzkosten 2,5 GE betragen. Die Fixkosten betragen 800 GE. Ermittle die Gleichung der Kostenfunktion und das Betriebsoptimum (0,005x^2+0,5x+800; 400)

b) Angenommen, der Artikel kann zu einem konstanten Preis von 6,3 GE verkauft werden. Zwischen welchen Stückzahlen wird Gewinn erzielt? Bei wie viel Stück erzielt die Firma maximalen Gewinn und wie hoch ist dieser? (160;1000;580;882)

c) Wenn die Firma das Produkt als Monopolanbieter verkauft, ergibt sich als Erlösfunktion E(x) = -0,0014x^2+7,7x

Ermittle die Preisfunktion von Bsp c) die Gewinngrenzen, die gewinnmaximierende Menge un der der maximale Gewinn? (125,1000,562,1225)

Meine Ideen:

a) K(200) = 1100

Was mache ich mit den Grenzkosten? & wie sehe ich die variablen Kosten damit ich die Gleichung K(x) machen kann?

b) Muss ich da die Zahlen in der Klammer in K(x) einsetzen?

c) Was ist die gewinnmaximierende Menge?

Answer 1

a)

K(x) = a·x^2 + b·x + c

K'(x) = 2·a·x + b

K(200) = 1100 --> 40000·a + 200·b + c = 1100

K'(200) = 2.5 --> 400·a + b = 2.5

K(0) = 800 --> c = 800

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 0.005 ∧ b = 0.5 ∧ c = 800

K(x) = 0.005·x^2 + 0.5·x + 800

Betriebsoptimum

k(x) = 0.005·x + 0.5 + 800/x

k'(x) = 0.005 - 800/x^2 = 0 --> x = 400 Stück

b)

E(x) = 6.3·x

G(x) = E(x) - K(x) = (6.3·x) - (0.005·x^2 + 0.5·x + 800) = - 0.005·x^2 + 5.8·x - 800

G(x) = - 0.005·x^2 + 5.8·x - 800 = 0 --> x = 160 Stück ∨ x = 1000 Stück

G'(x) = - 0.01·x + 5.8 = 0 --> x = 580 Stück

G(580) = - 0.005·580^2 + 5.8·580 - 800 = 882 GE

c)

E(x) = 7.7·x - 0.0014·x^2

p(x) = E(x)/x = 7.7 - 0.0014·x

G(x) = E(x) - K(x) = (7.7·x - 0.0014·x^2) - (0.005·x^2 + 0.5·x + 800) = - 0.0064·x^2 + 7.2·x - 800

G(x) = - 0.0064·x^2 + 7.2·x - 800 = 0 --> x = 125 Stück ∨ x = 1000 Stück

G'(x) = - 0.0128·x + 7.2 = 0 --> x = 562.5 Stück

G(562.5) = - 0.0064·562.5^2 + 7.2·562.5 - 800 = 1225 GE

Comments

Hey Mathecoach,

da Sie sich gut mit Kostenfunktionen auskennen, wollte ich fragen ob sie mir noch bei dieser Aufgabe helfen.

3 Grad Kostenfunktion. Bei (0/1500) ist die Kostenkehre. Stückkostenminimum bei 1 Produktionsmenge liegt bei 5* Dritte wurzel aus 6.

Stückkosten : 100ME 100075 GE. Produkt wird zu einem Preis von 310 GE verkauft.

Berechne den maximalen Gewinn.

Meine Ideen:

 K''(0)=1500 -> 2b=1500

(K/X)'(5*NteWurzel(6,3))=0

(K/x(100))=10075 -> 10000a+100b+c+1/100d=10075

K(0)=1500 -> d=1500

Die zweite Gleichung kann ich leider nicht lösen. Habe es in Geogebra eingetippt, mir kommt aber nur was komisches raus :( Gibt es eine andere Gleichung die ich hier anwenden kann?

Answer 2

> Was mache ich mit den Grenzkosten?

Mit der Ableitung an der Stelle x=200 gleichsetzen.

> wie sehe ich die variablen Kosten

Das sind die Gesamtkosten abzüglich der Fixkosten.

> b) Muss ich da die Zahlen in der Klammer in K(x) einsetzen?

Nein. Das sind Lösungen, die da stehen damit du einen ersten Anhaltspunkt hast, ob du den richtigen Rechenweg eingeschlagen hast.

> c) Was ist die gewinnmaximierende Menge?

Das ist die Anzahl die verkauft weden muss, damit der Gewinn maximal ist.

Comments

Grenzkosten: K'(200) = 2.5 ??

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Ja, richtig, K'(200) = 2,5.