Ganzrationale Funktion 4.Grades aufstellen: W(2/6) ist ein Wendepunkt des Graphen,...

Question

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f vierten Grades, deren Graph symmetrisch ist zur y-achse und für die gilt;

W(2/6) ist ein Wendepunkt des Graphen, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung 4.

So habe ich angefangen :

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx + e
f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c
f'''(x) = 24ax +6b
1.) W(2/6) -> f" ( 2) = 0
weiter weiß ich nicht , und ich bräuchte wirklich hilfe dabei danke im Voraus .

Answer 1

Hi,

aus der Symmetrie: b=d=0

Es verbleibt f(x)=ax^4+cx^2+e

Bedingungen:

f(2)=6

f''(2)=0

f'(2)=4

 

Gleichungen die sie daraus ergeben:

16a+4c+e = 6

48a+2c = 0

32a+4c = 4

 

Aus den beiden letzten Gleichungen ergibt sich sofort a und c:

a=-0,0625 und c=1,5

Damit in die erste Gleichung und e=1

 

Es ist also f(x)=-0,0625x^4+1,5x^2+1

 

Grüße

Answer 2

 

da Du eine ganzrationale Funktion 4. Grades hast

f(x) = ax⁴ + bx³ +cx² + dx + e

deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist, fallen alle ungeraden Exponenten von x weg und die Funktion vereinfacht sich zu

f(x) = ax⁴ + bx² + c

f'(x) = 4ax³ + 2bx

f''(x) = 12ax² + 2b

f'''(x) = 24ax

W(2|6) ist ein Wendepunkt des Graphen, also 

f(2) = 16a + 4b + c = 6 

f''(2) = 48a + 2b = 0

Die Wendetangente hat die Steigung 4, also

f'(2) = 32a + 4b = 4

a = -0,0625

b = 1,5

c = 1

Die gesuchte Funktion lautet

f(x) = -0,0625x⁴ + 1,5x² + 1

Besten Gruß

Answer 3

4. Grad Symmetrie

W\((2|6)\) ist ein Wendepunkt des Graphen, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung \(m= 4\).

W\((2|6)\) verschieben um 6↓:W'\((2|0)\):

\(f(x)=a(x-2)(x+2)(x-N)(x+N)=a(x^2-4)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)\)

W'\((2|...)\):

\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x-8x)\)

\(f''(x)=a(12x^2-2N^2-8)\)

\(f''(2)=a(40-2N^2)=2a(20-N^2)=0\)

\(N^2=20\)

\(m= 4\) bei W'\((2|...)\):

\(f'(x)=a(4x^3-48x)\)

\(f'(2)=a(32-96)=-64a=4\)

\(a=-\frac{1}{16}\)

\(f(x)=-\frac{1}{16}(x^4-24x^2+80)\)  verschieben um 6↑:

\(p(x)=-\frac{1}{16}(x^4-24x^2+80)+6\)