Ok, wir bestimmen erstmal eine Stammfunktion durch Substitution von x=sinh(z):
$$ x=sinh(z)\\\frac{dx}{dz}=cosh(z)\\dx=cosh(z)dz\\\int\sqrt{1+x^2}dx=\int\sqrt{1+sinh^2(z)}cosh(z)dz\\=\int\sqrt{cosh(z)}cosh(z)dz\\=\int cosh^2(z)dz $$
Dieses neue Integral kann auf verschiedene Arten gelöst werden. Am einfachsten ist es vielleicht die Definition des cosh(z) zu verwenden. Es ist
$$ cosh(z):=\frac{e^{-z}+e^z}{2} $$
Somit ergibt sich für das Integral:
$$ \int cosh^2(z)dz=\int \frac{1}{4}(e^{-z}+e^z)^2dz\\=\frac{1}{4}\int(e^{-2z}+e^{2z}+2)dz\\=\frac{1}{4}[-\frac{1}{2}e^{-2z}+\frac{1}{2}e^{2z}+2z] $$
Das Ergebnis kann erneut mithilfe der hyperbolischen Funktionen umgeschrieben werden
$$ =\frac{cosh(z)sinh(z)+z}{2} $$
Nun bleibt noch z zurücksubstituieren:
$$ z=arsinh(x)\\Integral=\frac{cosh(arsinh(x))sinh(arsinh(x))+arsinh(x)}{2} $$
arsinh(x) ist die Umkehrfunktion des sinh(x). Also ist sinh(arsinh(x))=x.
Für den cosh(....) benötigt man folgende Regel:
$$ cosh(x)=\sqrt{1+sinh^2(z)}\\\to cosh(arsinh(x))=\sqrt{1+x^2} $$
Insgesamt ergibt sich somit als Stammfunktion für das gesuchte Integral:
$$ F(x)=\frac{(\sqrt{1+x^2})x+arsinh(x)}{2} $$
Nun bleiben noch die Grenzen einzusetzen:
$$ I={[\frac{(\sqrt{1+x^2})x+arsinh(x)}{2}]^2}_{0}\\=\frac{\sqrt{5}*2+arsinh(2)}{2}-\frac{(\sqrt{1+0^2})*0+arsinh(0)}{2}\\=\frac{\sqrt{5}*2+arsinh(2)}{2} $$
Den Arsinh(2) berechnest du nun näherungsweise mit dem Taschenrechner und erhältst:
$$I \approx 2.958 $$
