Stammfunktion bilden - Bogenlänge

Question

ich komme bei dieser Integralrechnung nicht weiter, es soll die Bogenlänge ausgerechnet werden.

Mit dem Taschenrechner komme ich auf das Ergebnis auch ich möchte es aber handschriftlich ausrechnen.

Wisst ihr wie das funktioniert? Welche Regel muss angewendet werden?

Danke !!

Die abgebildete

Answer 1

dazu benötigt man hyperbolische Funktionen.

Substituiere x=sinh(z)

denn 1+sinh²(z)=cosh²(z) und du bekommst die Wurzel weg.

Falls du die vollständige Rechnung brauchst, melde dich nochmal.

Comments

hyperbolische Funktionen, davon habe ich ja noch nie was gehört.

Ja ich brauche die vollständige Rechnung unbedingt, ich muss mir das ansehen.

Danke !

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Ok, wir bestimmen erstmal eine Stammfunktion durch Substitution von x=sinh(z):

$$x=sinh(z)\\\frac{dx}{dz}=cosh(z)\\dx=cosh(z)dz\\\int\sqrt{1+x^2}dx=\int\sqrt{1+sinh^2(z)}cosh(z)dz\\=\int\sqrt{cosh(z)}cosh(z)dz\\=\int cosh^2(z)dz$$

Dieses neue Integral kann auf verschiedene Arten gelöst werden. Am einfachsten ist es vielleicht die Definition des cosh(z) zu verwenden. Es ist

$$cosh(z):=\frac{e^{-z}+e^z}{2}$$

Somit ergibt sich für das Integral:

$$\int cosh^2(z)dz=\int \frac{1}{4}(e^{-z}+e^z)^2dz\\=\frac{1}{4}\int(e^{-2z}+e^{2z}+2)dz\\=\frac{1}{4}[-\frac{1}{2}e^{-2z}+\frac{1}{2}e^{2z}+2z]$$

Das Ergebnis kann erneut mithilfe der hyperbolischen Funktionen umgeschrieben werden

$$=\frac{cosh(z)sinh(z)+z}{2}$$

Nun bleibt noch z zurücksubstituieren:

$$z=arsinh(x)\\Integral=\frac{cosh(arsinh(x))sinh(arsinh(x))+arsinh(x)}{2}$$

arsinh(x) ist die Umkehrfunktion des sinh(x). Also ist sinh(arsinh(x))=x.

Für den cosh(....) benötigt man folgende Regel:

$$cosh(x)=\sqrt{1+sinh^2(z)}\\\to cosh(arsinh(x))=\sqrt{1+x^2}$$

Insgesamt ergibt sich somit als Stammfunktion für das gesuchte Integral:

$$F(x)=\frac{(\sqrt{1+x^2})x+arsinh(x)}{2}$$

Nun bleiben noch die Grenzen einzusetzen:

$$I={[\frac{(\sqrt{1+x^2})x+arsinh(x)}{2}]^2}_{0}\\=\frac{\sqrt{5}*2+arsinh(2)}{2}-\frac{(\sqrt{1+0^2})*0+arsinh(0)}{2}\\=\frac{\sqrt{5}*2+arsinh(2)}{2}$$

Den Arsinh(2) berechnest du nun näherungsweise mit dem Taschenrechner und erhältst:

$$I \approx 2.958$$

Answer 2

Eine Möglichkeit besteht darin das Integral zu berechnen ,das Du folgende Substitution verwendest:

x= tan(z)