das charakteristische Polynom berechnest du über:
$$ \chi(x)=det(M-x E)=det\begin{pmatrix} -2-x & -3 & 0\\ -3 & -1-x & 0\\ 0&0 &-5-x \end{pmatrix} $$
Die Determinante kannst du nun nach der letzten Zeile entwickeln, da dort zwei Nullen drin stehen:
$$ det\begin{pmatrix} -2-x & -3 & 0\\ -3 & -1-x & 0\\ 0&0 &-5-x \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} -2-x & -3 \\ -3 & -1-x \end{pmatrix}*(-5-x)\\=((-2-x)(-1-x)-9)*(-5-x) $$
Für weitere Anwendungen empfiehlt sich die faktorisierte Darstellung, da man hier leicht die Nullstellen bestimmen kann.
