monoton wachsend fallen 2 folgen konvergent?

Question

(an) n ∈ N ist monoton wachsend und (bn) n ∈ N ist ist monoton fallend.Es gilt an<= bn  sind beide folgen konvergent?

ja.

Begründung: an könnte nicht kleiner als bn sein wenn sie städnig wachsen würde also muss sie gegen irgend einen grenzwert konvegieren und das umgekehrte gillt für bn

richitg?

Answer 1

Es gilt

$$ a_1 \le ... \le a_n \le b_n \le ... \le b_1  $$ D.h. \( a_n \) ist nach oben und \( b_n \) ist nach unten beschränkt. Aus Monotonie und Beschränktheit folgt die Konvergenz beider Folgen.