Für welchen Wert von a ist die Gerade ... parallel zur Ebene ...

Question

Hey zusammen,

beim Lernen für meine Matheklausur bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Für welchen Wert von a ist die Gerade g mit

→      1               3
x   =   2   +   t  •   2   
          3               a

parallel zur Ebene E mit

→      3               2                 1
x   =   1   +   r  •  -1   +   s  •   3      ?
         0                5               -2

in der Lösung steht leider nur die Lösung, nämlich a=3, aber ohne Rechenweg oder Erklärung kann ich da nicht viel mit anfangen...
Mein Ansatz wäre jetzt gewesen, die Gleichungen gleichzusetzen, aber dann habe ich ja drei Gleichungen und vier Variablen...

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Kommt drauf an, was für Methoden ihr schon kennt.

Am wenigsten Vorwissen braucht wohl die Idee:

Wenn die Gerade parallel ist, dann müssen die beiden

Spannvektoren der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade

linear abhängig sein, also muss es s und r geben mit

         2                 1                   3
  r  •  -1   +   s  •   3       =          2
         5               -2                    a

Aus den oberen beiden Gleichungen erhältst du

   r  •   2    +   s  •  1       =           3
  r  •  -1   +   s  •   3       =          2

also r=1  und  s= 1  und das gibt in der 3. Reihe

            1  • 5   +  1   •  (-2)   = 3

also   a = 3

Comments

Danke, aber ich verstehe den ersten Schritt leider schon nicht...warum müssen die "linear abhängig" sein (und was heißt das :´D)? Und warum setzt man die Spannvektoren inklusive Variabeln gleich mit dem Richtungsvektor ohne das t?

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alle Vektoren, die sich durch Linearkombination der

Spannvektoren angeben lassen (Man sagt auch die sind

von denen linear abhängig) haben Richtungen parallel zu E.

Mit dem Ansatz

         2                 1                   3
  r  •  -1   +   s  •   3       =          2
         5               -2                    a

kann man prüfen, ob das für den gegebenen

Richtungsvektor von g der Fall ist.

Answer 2

Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene steht senkrecht zur Ebene. Also muss das Skalarprodukt dieses Kreuzproduktes mit dem Richtungsvektor der Geraden 0 ergeben. Auflösen dieser Gleichung bringt die Lösung für \( a \)