Stetigkeit beweisen auf R \ Z

Question

kann jmd. mir sagen, mit welchem Kriterium ich die Aufgabe am besten lösen kann? hab mit 

δ-ε kriterium probiert aber das ist mir leider nicht gelungen. 

MfG

Answer 1

Hi,

zunächst einmal ist h auf ganz ℝ\ℤ stetig, da der obere Term stetitig für alle x ∈ ℝ\ℤ ist. Die Definitionslücken des Terms sind ja nur bei -2 und 3 und die werden ja sowieso ausgeschlossen. Der Zähler ist die Summe stetiger Funktionen und somit auch stetig.

Interessant wird es nun für ganze Zahlen:

Ich nenne den oberen Term, also den Term wo die Funktion auf ℝ\ℤ definiert ist, mal g(x) und den unterer h(x). Nun ist die Funktion stetig in einem z ∈ ℤ, wenn g(z)=h(z) gilt. Für welche z ∈ ℤ gilt das? Achte darauf, welche Zahlen du in g(z) nicht einsetzen darfst. Tipp: Es sind nicht -2 und 3, sondern nur eine der beiden Zahlen. Welche? (Stichwort: Hebbare Definitionslücke)

Comments

danke erst mal für die Erklärung ich habe jetzt g(x) vereinfacht und habe g(x)=x/x-3 raus d.h. für x∈R  /{3} ist die funktion h(x) stetig oder ;)

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Ups, sehe gerade, dass die gesamte Funktion auch schon h heißt. Dachte sie würde f heißen. Also mein h(x) war die Funktion zu dem unteren Term bei mir. Was meintest du gerade für ein h?:) 

Wir belassen es am besten dabei, dass die gesamte Funktion h heißt und den unteren Term nennen wir dann einfach f.

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also dann meinte ich die gesamte funktion ;) 

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ich habe noch eine frage zu g(z)=h(z) und zwar muss ich nicht z = -2 in g einsetzen und prüfen ob der Grenzwert von g gleich wie der Grenzwert von h ist ?

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Ok,

also um zu überprüfen, ob die Funktion h(x) in x = -2 stetig ist, musst du schauen, ob g(-2)=f(-2) gilt.

Am besten schaust du aber einfach direkt allgemein für welche x die Gleichung g(x)=f(x) gilt. In x = -2 könnte die Funktion stetig sein, das siehst du ja an der Vereinfachung. Für x = 3 geht das auf keinen Fall, was du ebenfalls an der Vereinfachung siehst.

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g(-2)=2/5 und f(-2)=3/5 also die gesamte funktion h ist stetig für x ∈ R\{3,-2}

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Nicht ganz,

du musst noch schauen, was mit den anderen ganzen Zahlen (alle außer 3 und -2) ist. Dafür musst du g(x)=f(x) auflösen nach x. Und für all' die x für die diese Gleichheit gilt, haben wir die Stetigkeit :)

Aber in 3 und -2 ist die Funktion schon mal nicht stetig, das ist korrekt.