Konvergenz der Reihe (-1)^k(sqrt(k+1)-sqrt(k))

Question

Ich soll die Konvergenz untersuchen von: ∑(-1)^k(√(k+1)-√k)

Das Lebnizkriterium besagt ja, dass a_k ( in unserem Fall: a_k=(sqrt(k+1) - √k) monoton fallend ist mit a_k -> 0, damit die alternierende Reihe konvergiert.

lim (a_k) ergibt nach meinen Berechnungen 0, somit ist die Eigenschaft a_k -> 0 erfüllt. ✓

Weiterhin gilt für monoton fallend: a_k ≥ a_k+1

Nach meinen Berechnungen komme ich auf: √1 ≥ √3, was ja ein Widerspruch ist. 

Habe ich etwas falsch gemacht? Divergiert somit die Reihe?

Answer 1

Hallo tammi_ ! :-)

Nach meinen Berechnungen komme ich auf::√1 ≥ √3

Das kann ich leider nicht ohne deine Rechnung zu sehen nachvollziehen.

Die ersten Folgenglieder der Folge (a_k) = √(k+1) - √k 

a₀ = 1, a₁ = 0,4, a₂ = 0,3 werden immer kleiner, die Folge scheint monoton fallend zu sein.

a_k = ^(*) 1 /  (√(k) + √(k+1))
a_k+1 = 1 / (√(k+1) + √(k+2))

a_k / a_k+1 > 1 ⇔ a_k > a_k+1

^(*)
√(k+1) - √k = (√(k+1) - √k) (√(k) + √(k+1))  / (√(k) + √(k+1)) = 1 /  (√(k) + √(k+1))

Grüße