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hi,

ich hab eine weitere Reihe die ich auf konvergenz untersuchen soll, wobei ich probleme hab.

n=1(1)nnn+100 \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{n+100}

Es handelt sich um eine alternierende Reihe, weshalb ich das Leibnizkriterium anwenden wollte.

Um zu prüfen ob es eine Nullfolge ist, habe ich durch n \sqrt{n} geteilt und erhalte dann 1nn+100n \frac{1}{\frac{n}{\sqrt{n}}+\frac{100}{\sqrt{n}} } .

Das wäre ja dann 1/unendlich also läuft das gegen Null, wobei ich mir nicht sicher bin, ob ich das so einfach behaupten darf.

Ich wollte jetzt zeigen dass es monoton ist, bin da drin aber nicht gut genug eingeübt und unsicher wie genau ich das jetzt machen sollen.

nn+100 \frac{\sqrt{n}}{n+100}  ≥ n+1n+101 \frac{\sqrt{n+1}}{n+101}

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Aloha :)

Wenn du dir unsicher bist, schätze doch einfach "heftiger" ab:

an=nn+100a_n=\frac{\sqrt n}{n+100}

Wenn wir den Nenner kleiner machen, wird der Bruch größer, also gilt doch:an<nn=1n0a_n<\frac{\sqrt n}{n}=\frac{1}{\sqrt n}\to0

Also ist (an)(a_n) eine Nullfolge, sodass die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert.

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Danke für die Antwort, aber reicht das denn schon aus oder muss ich da nicht noch ein Monotonie Verhalten aufzeigen?

Ich dachte immer es muss eine Nullfolge und monoton sein, damit das leibnizkriterium gilt.

Ja stimmt, (an)(a_n) muss eine monotone Nullfolge sein. Hier hast du das Problem, dass die ana_n für n<100n<100 ansteigen und erst ab n100n\ge100 abfallen. Die Monotonie gilt also nur für fast alle nn. Das reicht aber für die Konvergenz, denn du kannst die Summe aufteilen:n=1(1)nnn+100=n=199(1)nnn+100+n=100(1)nnn+100\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sqrt n}{n+100}=\sum\limits_{n=1}^{99}(-1)^n\frac{\sqrt n}{n+100}+\sum\limits_{n=100}^{\infty}(-1)^n\frac{\sqrt n}{n+100}Die erste Summe bis 9999 kann man ausrechnen. Die zweite Summe ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent.

Plotlux öffnen

f1(x) = √(x)/(x+100)P(100|0,05)Zoom: x(0…300) y(0…0,052)

super, danke dir ! Passt so :)

Du kannst diese 100er-Grenze auch rechnerisch zeigen, wenn du die Differenz der Quadrate betrachtest. Ich skizziere das mal kurz:

an+12an2=n+1(n+101)2n(n+100)2a_{n+1}^2-a_n^2=\frac{n+1}{(n+101)^2}-\frac{n}{(n+100)^2}an+12an2=(n+1)(n+100)2n(n+101)2(n+101)2(n+100)2a_{n+1}^2-a_n^2=\frac{(n+1)(n+100)^2-n(n+101)^2}{(n+101)^2(n+100)^2}an+12an2=n2+n10000(n+101)2(n+100)2a_{n+1}^2-a_n^2=-\frac{n^2+n-10000}{(n+101)^2(n+100)^2}

Nun kannst du zeigen, dass der Zähler positiv ist, wenn n100n\ge100 ist:

n2+n10000>0n^2+n-10000>0n2+n+14>10000+14=400014n^2+n+\frac{1}{4}>10000+\frac{1}{4}=\frac{40001}{4}(n+12)2>400014\left(n+\frac{1}{2}\right)^2>\frac{40001}{4}n+12>400014n+\frac{1}{2}>\sqrt{\frac{40001}{4}}n>4000141299,50n>\sqrt{\frac{40001}{4}}-\frac{1}{2}\approx99,50n100n\ge100

Für n100n\ge100 ist der Zähler also positiv. Weil der Nenner positiv ist und vor dem Bruch ein Minuszeichen steht, haben wir also:

an+12an2<0fu¨rn100a_{n+1}^2-a_n^2<0\quad\text{für}\quad n\ge100(an+1an)(an+1+an)>0<0fu¨rn100(a_{n+1}-a_n)\underbrace{(a_{n+1}+a_n)}_{>0}<0\quad\text{für}\quad n\ge100an+1an<0fu¨rn100a_{n+1}-a_n<0\quad\text{für}\quad n\ge100an+1<anfu¨rn100a_{n+1}<a_n\quad\text{für}\quad n\ge100

Habs jetzt erst gelesen ^^

Vielen dank, jetzt ist wirklich alles komplett !

Auch sehr verständlich :)

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