Du kannst diese 100er-Grenze auch rechnerisch zeigen, wenn du die Differenz der Quadrate betrachtest. Ich skizziere das mal kurz:
an+12−an2=(n+101)2n+1−(n+100)2nan+12−an2=(n+101)2(n+100)2(n+1)(n+100)2−n(n+101)2an+12−an2=−(n+101)2(n+100)2n2+n−10000
Nun kannst du zeigen, dass der Zähler positiv ist, wenn n≥100 ist:
n2+n−10000>0n2+n+41>10000+41=440001(n+21)2>440001n+21>440001n>440001−21≈99,50n≥100
Für n≥100 ist der Zähler also positiv. Weil der Nenner positiv ist und vor dem Bruch ein Minuszeichen steht, haben wir also:
an+12−an2<0fu¨rn≥100(an+1−an)>0(an+1+an)<0fu¨rn≥100an+1−an<0fu¨rn≥100an+1<anfu¨rn≥100