Leibnizkriterium um Konvergenz einer Reihe zu untersuchen

Question

hi,

ich hab eine weitere Reihe die ich auf konvergenz untersuchen soll, wobei ich probleme hab.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{n+100} \)

Es handelt sich um eine alternierende Reihe, weshalb ich das Leibnizkriterium anwenden wollte.

Um zu prüfen ob es eine Nullfolge ist, habe ich durch \( \sqrt{n} \) geteilt und erhalte dann \( \frac{1}{\frac{n}{\sqrt{n}}+\frac{100}{\sqrt{n}} } \).

Das wäre ja dann 1/unendlich also läuft das gegen Null, wobei ich mir nicht sicher bin, ob ich das so einfach behaupten darf.

Ich wollte jetzt zeigen dass es monoton ist, bin da drin aber nicht gut genug eingeübt und unsicher wie genau ich das jetzt machen sollen.

\( \frac{\sqrt{n}}{n+100} \) ≥ \( \frac{\sqrt{n+1}}{n+101} \)

Answer 1

Aloha :)

Wenn du dir unsicher bist, schätze doch einfach "heftiger" ab:

$$a_n=\frac{\sqrt n}{n+100}$$

Wenn wir den Nenner kleiner machen, wird der Bruch größer, also gilt doch:$$a_n<\frac{\sqrt n}{n}=\frac{1}{\sqrt n}\to0$$

Also ist \((a_n)\) eine Nullfolge, sodass die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert.

Comments

Danke für die Antwort, aber reicht das denn schon aus oder muss ich da nicht noch ein Monotonie Verhalten aufzeigen?

Ich dachte immer es muss eine Nullfolge und monoton sein, damit das leibnizkriterium gilt.

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Ja stimmt, \((a_n)\) muss eine monotone Nullfolge sein. Hier hast du das Problem, dass die \(a_n\) für \(n<100\) ansteigen und erst ab \(n\ge100\) abfallen. Die Monotonie gilt also nur für fast alle \(n\). Das reicht aber für die Konvergenz, denn du kannst die Summe aufteilen:$$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sqrt n}{n+100}=\sum\limits_{n=1}^{99}(-1)^n\frac{\sqrt n}{n+100}+\sum\limits_{n=100}^{\infty}(-1)^n\frac{\sqrt n}{n+100}$$Die erste Summe bis \(99\) kann man ausrechnen. Die zweite Summe ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent.

~plot~ sqrt(x)/(x+100) ; {100|0,05} ; [[0|300|0|0,052]] ~plot~

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super, danke dir ! Passt so :)

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Du kannst diese 100er-Grenze auch rechnerisch zeigen, wenn du die Differenz der Quadrate betrachtest. Ich skizziere das mal kurz:

$$a_{n+1}^2-a_n^2=\frac{n+1}{(n+101)^2}-\frac{n}{(n+100)^2}$$$$a_{n+1}^2-a_n^2=\frac{(n+1)(n+100)^2-n(n+101)^2}{(n+101)^2(n+100)^2}$$$$a_{n+1}^2-a_n^2=-\frac{n^2+n-10000}{(n+101)^2(n+100)^2}$$

Nun kannst du zeigen, dass der Zähler positiv ist, wenn \(n\ge100\) ist:

$$n^2+n-10000>0$$$$n^2+n+\frac{1}{4}>10000+\frac{1}{4}=\frac{40001}{4}$$$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^2>\frac{40001}{4}$$$$n+\frac{1}{2}>\sqrt{\frac{40001}{4}}$$$$n>\sqrt{\frac{40001}{4}}-\frac{1}{2}\approx99,50$$$$n\ge100$$

Für \(n\ge100\) ist der Zähler also positiv. Weil der Nenner positiv ist und vor dem Bruch ein Minuszeichen steht, haben wir also:

$$a_{n+1}^2-a_n^2<0\quad\text{für}\quad n\ge100$$$$(a_{n+1}-a_n)\underbrace{(a_{n+1}+a_n)}_{>0}<0\quad\text{für}\quad n\ge100$$$$a_{n+1}-a_n<0\quad\text{für}\quad n\ge100$$$$a_{n+1}<a_n\quad\text{für}\quad n\ge100$$

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Habs jetzt erst gelesen ^^

Vielen dank, jetzt ist wirklich alles komplett !

Auch sehr verständlich :)