Quadratische Gleichung mit zwei Parametern

Question

 

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: 

x²-(r+s)x+rs=0 

kann mir da wer weiterhelfen? 

Vielen Dank vorab! 

PS; Lösung muss sein: x=r ; x=s

Comments

Nochmal zur Lösung mit der pq-Formel:

Was ich nicht verstehen, wieso fällt beim Wurzel ziehen das -rs weg?

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Tipp: Für die Diskriminante \(D\) gilt
\(D=\left(\dfrac{r+s}2\right)^{\!2}-rs=\dfrac{r^2+2rs+s^2-4rs}4=\dfrac{r^2-2rs+s^2}4=\left(\dfrac{r-s}2\right)^{\!2}\).

Answer 1

erinnere dich an das ausmultiplizieren zweier Klammern:

$$ (x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$$

also ist 

$$ x^2-(r+s)x+rs=x^2-rx-sx+rs=(x-r)(x-s)$$

Answer 2

pq-Formel:

p= -(r+s), q=rs

x1/2 = (r+s)/2±√((r+s)^2/4 - rs)) = (r+s)/2 ± (r-s)/2

x1= r

x2= s

Comments

Vielen Dank für die Lösung mit der pq-Formel.

Ich hatte es bis identisch gerechnet. Was ich nicht verstehen, wieso fällt beim Wurzel ziehen das -rs weg?

Ich habe folgende Aufgabe selbst gerechnet, ist diese korrekt (erstmal ohne PQ)?

2x²+(4s-r)x=2rs         | Umformen ergibt

x²+2sx-0,5rx-rs    und dies wäre dann:

(x+2s) (x-0,5r)

Wäre das korrekt ?

Ausmultipliziert ergibt bei mir zumindest x²+2sx-0,5rx-rs   

Answer 3

Rechne einmal mit der quadratischen Ergänzung

x² - (r+s) * x +rs = 0
Quadratische Ergänzung : die Hälfte der Vorzahl
von x zum Quadrat : [ ( r +s ) / 2 ] ^2

x ^2 - (r+s) * x + [ ( r +s ) / 2 ] ^2 = - rs+[ ( r +s ) / 2 ] ^2
( x - ( r +s ) / 2  ) ^2 = [ -4rs + ( r + s ) ^2 ] / 4

( x - ( r +s ) / 2  ) ^2 = [ -4rs + r^2 + 2 * rs + s^2 ] / 4

( x - ( r +s ) / 2  ) ^2 = [ r^2 - 2 * rs + s^2 ] / 4

( x - ( r +s ) / 2  ) ^2 = ( r - s ) ^2 / 4   | √
x - ( r + s ) / 2 = ± ( r - s ) / 2

x = [ ( r - s ) + ( r + s ) ] / 2
x = r

x = [ - ( r - s ) + ( r + s ) ] / 2
x = s