Quadratische Gleichungen mit Parametern durch Fallunterscheidung

Question

Liebe Mathegenie's! 

Meine Tochter hat nächste Woche Schularbeit und als brave Mama versuche ich auch in der 5. Klasse Oberstufe zu helfen. Nun stehen wir bei einer Aufgabe vor einem Rätsel, vielleicht kann hier wer helfen.

Die Aufgabe lautet: Wie muss man a ∈ R wählen, damit man die Gleichung x² = 3 + (ax-3)² nur eine Lösung für x hat? Wie lautet diese Lösung?

So weit sind wir :

x² = a².x² - 6.a.x. + 12

Leider wissen wir jetzt nicht weiter, damit wir hier auf eine nominierte Gleichung?  kommen.

Die Lösung soll lauten: (a²-1).x²-6ax+12=0 ???

für die Hilfe.

Sandra

Answer 1

Hallo Sandra,

x² = a²·x² - 6a·x + 12   | - x²

0 = a²·x² - x² -  6a·x. + 12  

  vorn  x² ausklammern und Gleichung umdrehen:

(a² -1) · x² - 6a·x + 12 = 0    ( Die Lösung soll lauten: (a²-1).x²-6ax+12=0 ???)

Das beantwortet aber noch nicht die Frage:

>  Wie muss man a ∈ R wählen, damit man die Gleichung x² = 3 + (ax-3)² nur eine Lösung für x hat? Wie lautet diese Lösung?

Das  ist dann schon etwas schwieriger: 

für a = ±1  gilt  a² - 1 = 0  und es ergibt sich jeweils nur eine Lösung:

             - 6·x + 12 = 0  ⇔   x = 2     bzw.       6·x + 12 = 0   ⇔  x = - 2

für a ≠ ± 1   kann man die Gleichung durch  a² -1 ≠ 0  dividieren und erhält:

x² - 6a / (a²-1) · x + 12 / (a² - 1)  = 0

pq-Formel:

x² + px + q = 0
pq-Formel:  p = - 6a / (a²-1)  ;  q = 12 / (a²-1)  

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

→  genau eine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel gleich 0 ist,

     also für  (- 3a / (a²-1) )² - 12 / (a²-1)  = 0

9a² / (a² - 1)² - 12 / (a² - 1)  = 0    |  ·  (a² - 1)² 

 9a² - 12·(a² - 1) = 0

- 3a² +  12 = 0

a² = 4   ⇔  a = ± 2

a = 2   →   x = 2    bzw.   a = - 2  →  x = - 2  

Genau eine Lösung hat die Gleichung also für  a ∈ { ± 1 , ± 2 }  

Gruß Wolfgang 

 (liebe Grüße auch an die Tochter, aber eigentlich ist sie doch alt genug, dass sie bei uns        nicht die Mama vorschicken muss :-))

Comments

Hallo Wolfgang,

danke für die ausführliche Antwort.

Meine Tochter weiß gar nicht, dass ich hier angemeldet bin :).

Lg

Sandra

Answer 2

\(\begin{aligned}x^{2} & =a^{2}x^{2}-6ax+12 & & |-x^{2}\\0 & =a^{2}x^{2}-6ax+12-x^{2} & & \text{vertauschen}\\0 & =a^{2}x^{2}-x^{2}-6ax+12 & & \text{ausklammern}\\0 & =\left(a^{2}-1\right)x^{2}-6ax+12\end{aligned}\)

Comments

> Die Lösung soll lauten: (a²-1).x²-6ax+12=0 ???

Das  beantwortet aber nicht die Frage!

>  Wie muss man a ∈ R wählen, damit man die Gleichung x² = 3 + (ax-3)² nur eine Lösung für x hat? Wie lautet diese Lösung?