Stetige Funktion über verschiedenen Mengen

Question

Frohes neues Jahr liebe Mathelounge-Community,

heute hab ich mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe.

Ich soll beweisen oder widerlegen, dass eine stetige Funktion über einer abgeschlossenen und beschränkten Menge aus ℝ auch abgeschlossen oder beschränkt sind, und dass die Umkehrfunktion über solchen Mengen auch abgeschlossen oder beschränkt ist. 

Für den Fall, dass ich eine beschränkte Menge hab, und die stetige Funktion, hab ich dies schon mittels eines Widerspruchbeweises getan:

(kurz zusammengefasst: Meine Behauptung war, dass meine Funktion stetig aber nicht beschränkt sei, dadurch eine Teilfolge existiert sodass f(x_n) -> unendlich.
(x_n) ist beschränkt und besitzt eine konvergente Teilfolge, die wiederum eine Cauchyfolge ist und damit auch (f(a_n)) eine konvergente Cauchyfolge ist. Dies steht aber im Widerspruch zu  f(x_n) -> unendlich, da daraus eigentlich folgen müsste, dass f(a_n) -> unendlich, und (f(a_n)) somit eigentlich divergieren müsste.)

Leider habe ich keine Idee, wie ich die Beweise für eine abgeschlossene Teilmenge aus ℝ für die Funktion führen soll, oder wie ich die beiden Fälle auf f^-1 anwenden soll.

Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.

LG LiveNorm

Comments

Was ist denn eine abgeschlossene Funktion ?

Poste doch mal den Originaltext der Aufgabe.

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f: ℝ -> ℝ stetig, A,B ⊆ ℝ. Beweisen oder widerlegen Sie:

A abgeschlossen / beschränkt => f(A) abgeschlossen / beschränkt
B abgeschlossen / beschränkt => f^-1(B) abgeschlossen / beschränkt

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Abgeschlossen und beschränkt sind je zwei separate Teilaufgaben, da wollte ich aber Schreibarbeit sparen ^^ 

Answer 1

Gegenbeispiel 1:

A=] 0 ; 1 ] (beschränkt) und f: A--> ℝ mit f(x) = 1/x (stetig) .  Dann ist f(A) = [ 1 ; ∞ [ unbeschränkt.

B = ] -pi/2 ; pi/2 [ (beschränkt)  und f: A--> ℝ mit f(x) = arctan(x)  (stetig) .

Dann ist f ^-1(B) = ℝ (unbeschränkt).