Exponentielle Abnahme - Abnahmefaktor

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:

In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe der Schaumsäule verringert sich pro Sekunde um 0,5%.
Begründe, warum man hier näherungsweise von exponentieller Abnahme sprechen kann und bestimme den Abnahmefaktor a.

Ich denke eine exponentielle Abnahme ist es darum, weil es eine konstante prozentuelle Änderung pro Sekunde gibt. Aber wie kann ich den Abnahmefaktor berechnen? 

Answer 1

die Frage ist doch: wie ist 'Abnahmefaktor' definiert? Ich unterstelle mal, es soll der Parameter \(a\) in einer Funktion

$$h(t)=h_0 \cdot a^{-t}$$

sein. Wobei \(h(t)\) die Höhe des Bierschaums nach der der Zeit \(t\) ist und \(h_0\) die Höhe zur Zeit \(t=0\). Und \(t\) ist die Zeit in Sekunden! Besser man setzt dies als

$$h(t) = h_0 \cdot e ^{\frac{-t}{T}}$$

an. Mit \(T\) als der Zeitkonstanten, die die Abnahme der Höhe beschreibt. Das hat nämlich den Vorteil, dass man nach dem Blick auf die Ableitung

$$\dot h(t) = h_0 \frac{1}{T} \cdot e^{\frac{-t}{T}} = \frac{1}{T} \cdot h(t)$$

den Parameter \(1/T= 0,5\% \frac{1}{s}= 0,005 \frac{1}{s}\)  gleich ablesen kann: \(\Rightarrow T= 200\text{s}\). Und das obige \(a\) wäre dann:

$$a = e^{\frac{1}{T}} \approx  1,00501$$

... gilt aber nur, wenn \(t\) in Sekunden angegeben wird.

Comments

Noch eine Bemerkung: wenn die Funktion

$$h(t) = h_0 \cdot a^t$$

lauten soll (ohne Minus), dann wäre

$$a = e^{\frac{-1}{T}} \approx 0,99501$$

wenn \(T\) in Sekunden angegeben wird