Faktorisieren Sie das Polynom s^2 + 6s + 13 in Linearfaktoren

Question

6. Faktorisieren Sie das Polynom s^2 + 6s + 13 in Linearfaktoren.
7. Faktorisieren Sie das Polynom 2s^2 + 8s + 11 in Linearfaktoren.

Answer 1

6. s^2 + 6s + 13 = (s +(3+2i) ) * (s +(3-2i));

7. 2s^2 + 8s + 11 ≈ (s +(2-1,22i) ) * (s +(2+1,22i) );

 

Etwas ausführlicher: Die quadratischen Gleichungen haben nur Lösungen im komplexen Zahlenbereich. Die Ergebnisse sind konjugiert komplex, die Zerlegung in Linearfaktoren muss also so aussehen:

(s -(a+bi)) * (s -(a-bi)) = s^2 -s2a +a^2 +b^2;

 

6. s^2 + 6s + 13 = s^2 -s2a +a^2 +b^2;

Koeffizientenvergleich:

s^1: 6 = -2a; a = -3;

s^0: 13 = a^2 +b^2; b_1,2 = ±2; (eines davon auswählen) b = 2;

Linearfaktorzerlegung: (a und b einsetzen)

s^2 + 6s + 13 = (s -(-3+2i)) * (s -(-3-2i));

 

7. 2*[s^2 + 4s + 5,5] = 2*[s^2 -s2a +a^2 +b^2];

Koeffizientenvergleich:

s^1: 4 = -2a; a = -2;

s^0: 5,5 = a^2+b^2; b_1,2 = ±sqrt(3/2); (eins auswählen); b = sqrt(3/2);

Linearfaktorzerlegung:

2*[s^2 + 4s + 5,5] = 2 * (s -(-2 +sqrt(3/2)i ) ) * (s -(-2 -sqrt(3/2)i ) );

 

lg JR

Comments

was ist ein koeeffizientenvergleichh

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was ist konjugiert komplex?

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Hi

"Ein Koeffizient (von lat. coefficere „mitwirken“) ist eine zu einem anderen rechnerischen Ausdruck beigefügte Zahl bzw. Variable. Der Koeffizient ist ein Parameter bzw. eine Kennzahl (Physik, Ökonomie) oder ein Faktor (Chemie)." Aus: https://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizient

 

Hier in der Gleichung:

1*s² + 6*s^1 + 13*s^0 = 1*s² +(-2a)*s^1 +(a² +b²)*s^0;

1 ist der Koeffizient von s^2.
6 und (-2a) sind die Koeffizienten von s^1.
13 und sind die (a² +b²) Koeffizienten von s^0.
(s^0 = 1 und wird deshalb nicht aufgeschrieben. Ich hab es nur mal aufgeschrieben um die Struktur der Gleichung zu verdeutlichen.)

Jetzt schaust Du Dir die einzelnen Glieder der Gleichung an und setzt die Koeffizienten der Glieder gleich.

Quadratisches Glied:
s^2:  1 = 1;
Lineares Glied:
s^1:  6 = -2a;
Absolutes Glied:
s^0: 13 = (a² +b²);

Das nennt man Koeffizientenvergleich. Mit diesem Verfahren kannst Du a und b bestimmen und kommst so zu den gesuchten Linearfaktoren.

 

Konjugiert komplexe Zahl:

z = a +bi. Die konjugiert komplexe Zahl von z ist z*. z* = a -bi. Die zu z konjugierte Zahl hat beim Imaginärteil das entgegengesetze Vorzeichen, der Realteil bleibt gleich. (Man schreibt statt z* auch gerne \(\overline{z}\).)

Eine quadratische Gleichung, die keine Nullstellen hat, hat nur in der Menge der komplexen Zahlen eine Lösung (falls die Gleichung 0 gesetzt wird). Die Lösung ist dann immer eine komplexe Zahl und ihre konjugierte Zahl. Genau diese Tatsache kannst Du Dir zu nutze machen um (s -(a+bi)) * (s -(a-bi)) = s² -s2a +a² +b² als Lösungsansatz zu wählen, der auf den Koeffizientenvergleich führt und Dir die Linearfaktoren liefert.

Bei Fragen, Fehlern oder Sonstigem --> Kommentar.

lg JR