Von einer Funktion x^4 Extremwerte ermitteln

Question

Nullstellen:

f(x)=-x^4+32x^2-6         (z=x^2)

f(z)=-z^2+32x-6   | *(-)

f(z)=z^2-32x+6

32/2±√(32/2)^2-6

16±15.81

x1= -16+15.81=0.19

x2=-16-15.81=-31.81

x1= √0.19=0.44

x2=-0.44

x3=5.64i

x4=-5.64i

Extremwerte:

f(x)=-x^4+32x^2-6

f(0.44)=-(0.44)^4+32*(0.44)^2-6= 0.16

f(-0.44)=-(-0.44)^4+32*(-0.44)^2-6=0.16

f(5.64)=-(5.64)^4+32*(5.64)^2-6=0.06

f(-5.64)=-(-5.64)^4+32*(-5.64)^2-6=0.06

(0.44|0.16) → kein Extremwert der Funktion.

Was mache ich falsch?

Answer 1

Hallo Anton,

Nullstellen:
f(x) = -x⁴ + 32x² - 6    

Ersetze:  z = x²

-z² +32 z - 6 = 0  | * (-1 )        [ f(x) = ...   | * (-1)   macht keinen Sinn ]

z² - 32z + 6 = 0  
pq-Formel:  

z_1,2  =  32/2 ± √( (32/2)²- 6 )  

        =  16 ± √250  ≈ 16 ± 15,81

z₁ ≈ 31,81   ;   z₂ ≈ 0,19

Ersetzung rückgängig machen:

x²  ≈ 31,81  oder  x² ≈ 0,19  

x_1,2  ≈  ± √31,81 ≈ ± 5,64    ;   x_3,4  ≈  ± √0,19 ≈ ± 0,44

Im Graph sind dass die Schnittstellen mit der x-Achse:

b)

Extremwerte: 

Hier musst du doch mit den Nullstellen der Ableitung f ' arbeiten und nicht mit denen von f !  

f '(x) = -4x³ + 64x  = 0  ⇔  -4x * (x² - 16)  = 0   

Extremstellen  x₁ = 0  ;   x_2,3 = ± 4

Mit deren Funktionswerten erhältst du dann den Tiefpunkt (0 | - 6)  

und die beiden Hochpunkte (± 4 | 250) 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo

Mit *(-1) drehe ich alle Rechenzeichen um..

Und muss ich, um die Y-Werte zu ermitteln, dir abgeleitete Funktion von f(x)=-x^4+32-6 benutzen?

Lg

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> Und muss ich, um die Y-Werte zu ermitteln, dir abgeleitete Funktion von f(x)=-x4+32-6 benutzen?
Nein, y-Werte werden immer durch Einsetzen des zugehörigen x-Werts in die Funktionsgleichung von f  berechnet.

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f'(x)= -4x^3+64x

f(±5.64)=-4*(5.64)^3+64*(5.64)

So oder was? Verstehe dad gerade nicht ganz. Wäre lieb, wenn du die ganze Rechnung zur Ermittlung der Nullstellen posten könntest.

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> f(±5.64) = -4*(5.64)3+64*(5.64)  ,  So oder was?

Nein, du musst die Funktionsgleichung f(x) = - x⁴ + 32x² - 6 benutzen,                                             nicht deren Ableitung f '(x)  

f(±5.64)= - (5.64)⁴ + 32 * (5.64)² - 6

> Wäre lieb, wenn du die ganze Rechnung zur Ermittlung der Nullstellen posten könntest.

Das steht vollständig in der Antwort. Habe es noch etwas ergänzt. 

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Ok, danke.

Wie bist du denn auf ±4 gekommen? (Kann das deiner Rechnung nicht entnehmen)

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-4x * (x² - 16) = 0

x = 0  oder x² - 16  = 0     (Nullproduktsatz)

x = 0 oder  x² = 16 

x = 0  oder  x = ± 4  

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 -(4)^4+32*(-4)^2-6=250

Answer 2

> Nullstellen: ... x1= √0.19=0.44

OK, bei 0.44  ist eine Nullstelle. Mit anderen Worten, der Funktionsgraph verläuft duch den Punkt (0.44 | 0). Mit noch anderen Worten: Setzt man 0,44 für x in den Funktionsterm -x⁴+32x²-6  ein, dann bekommt man 0.

> Extremwerte: ... f(0.44) = ...

Was veranlasst dich dazu, zu glauben dass man auf diese Weise Extemstellen bekommt?

Bei Extremstellen hat die Funktion eine horizontale Tangente. Tangenten sind Geraden. Eine horizontale Gerade hat die Steigung 0. Die Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion.

Finde also heraus, wo die Ableitung 0 ist:

        f'(x) = -4x³ + 64x

        0 = -4x3 + 64x

Löse die Gleichung.

> (0.44|0.16) → kein Extremwert der Funktion.

Wieso? Bis jetzt hast du keinen Grund genannt, warum es sich um keinen Extremwert der Funktion handeln muss.

Comments

Hab mir den Graph im Plotter angesehen