Beweis durch vollständige Induktion: 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n+1) = (n*(n+1)*(n+2))/3

Question

Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?

Es soll durch Induktion nachgewiesen werden:

-> 1*2+2*3+3*4+....+n*(n+1) = n*(n+1)*(n+2) / 3

Könnt ihr mir bitte helfen bei dieser Aufgabe, damit ich weiß, wie man da generell vorgehen muss...

Comments

Laut Schreibregeln sollen Aufgaben nicht nur als Bild eingestellt werden. Dass könnte ein Grund sein, warum du noch keine Antwort bekommen hast.

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... oder eventuell weil die frage erst EINE STUNDE alt ist.

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Nein, ich weiß aus sicherer Quelle, dass es an der Nichtbachtung der Schreibregeln liegt.

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Sry, hier die Aufgabe zur Vervollständigung... Es soll diese Induktion nachgewiesen werde: 

-> 1*2+2*3+3*4+....+n*(n+1) = n*(n+1)*(n+2) / 3

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Es soll diese Summenformel durch vollständige Induktion nachgewiesen werde:

-> 1*2+2*3+3*4+....+n*(n+1) = n*(n+1)*(n+2) / 3

Das ist eine Summenformel und keine Induktion. Habe das oben entsprechend eingefügt.

Answer 1

Hi,

wenn du wissen willst, wie man bei der vollständigen Induktion generell vorgehen muss, verweise ich dich mal auf diesen Artikel: 

https://www.mathelounge.de/507303/mathe-artikel-vollstandige-induktion

Nun zu deiner Aufgabe:

Die Summe auf der linken Seite kannst du mit Hilfe des Summenzeichens schreiben:

$$  \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}i \cdot (i+1) $$

Du sollst also zeigen, dass $$ \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}i \cdot (i+1)=\frac{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{3} $$ für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt.

Induktionsanfang:

Zeigen, dass die Aussage für \(n=1\) gilt.

Induktionsvoraussetzung:

Für ein festes, aber beliebiges \(n \in \mathbb{N}\) gilt:

$$ \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}i \cdot (i+1)=\frac{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{3} $$

Induktionsschluss:

Beginne wie folgt:

$$ \overset{n+1}{\underset{i=1}{\sum}}i \cdot (i+1)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}i \cdot (i+1) +(n+1) \cdot (n+2)$$

Comments

muss ich nicht bis n+2 machen?

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Nein, wie kommst du drauf?

Edit: Ok, ich glaub ich weiß wie du drauf kommst. Wenn du bis n+1 gehst, ist dein letzter Summand \((n+1) \cdot (n+2) \).

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i=1n+1i⋅(i+1)=∑i=1ni⋅(i+1)+(n+1)⋅(n+2)

= (n+1)((n+1)+1)+ (n+1)(n+2)

= (n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)

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Wenn du ab dort weiter machst wo ich aufgehört habe, wendest du direkt die IV an, d.h.:

$$\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} i \cdot (i+1) + (n+1) \cdot (n+2) \\ = \frac{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{3}+(n+1) \cdot (n+2)$$

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Und das ist dann die entgültige Lösung? Damit ist es schon nachgewiesen?

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Nein, du musst zeigen, dass

$$\overset{n+1}{\underset{i=1}{\sum}} i \cdot (i+1)= \frac{(n+1) \cdot ((n+1)+n) \cdot ((n+1)+2)}{3}$$

gilt.

Versuche vielleicht zunächst mal zu verstehen wie die vollständige Induktion funktioniert. Dazu kannst du beispielsweise den Artikel auf den ich verwiesen habe nachvollziehen oder auch dieses Video hier anschauen: 

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(n+1)(n+2)(n+3) / 3 +(n+1)(n+2)

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Also hab das eingesetzt und (n+1)(n+2)(n+3) /3 +(n+1)(n+2) raus für n+1

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Ja und jetzt noch auf die Form bringen, die ich oben genannt habe.

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(n+1)⋅((n+1)+n)⋅((n+1)+2)/ 3        +(n+1)(n+2)

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Das stimmt leider nicht. Du musst den Term Schritt für Schritt umformen.

Du musst zeigen, dass

$$\frac{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{3}+(n+1) \cdot (n+2)= \frac{(n+1) \cdot ((n+1)+1) \cdot ((n+1)+2)}{3}$$

(Hatte mich oben vertippt, da gehört an der einen Stelle kein n sondern eine 1 hin. Habe es hier verbesser.)

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Aber, man muss doch beim Induktionsschritt n+1 einsetzen..

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Ja, das habe ich auch getan.

Schreibe in der rechten Seiten der Gleichung deiner Behauptung bzw. Induktionsvoraussetzung überall ein \(n+1 \) statt \(n\). Dann kommst du auf die rechte Seite meiner letzten Gleichung. Und genau da willst du hin. Das musst du zeigen.

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Sry, dass ich mich jetzt erst melde, aber n*(n+1)(n+2)/3 +(n+1)*(n+2) ist doch n(n+1)(n+2)/3 + 3(n+1)(n+1)/3 Und wie fasst man das weiter zusammen, komme da nicht weiter ):

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$$\frac{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{3}+(n+1) \cdot (n+2)= \frac{(n+1) \cdot ((n+1)+1) \cdot ((n+1)+2)}{3}$$

musst du wohl noch zeigen. Teile diese Zeile durch (n+1)(n+2) , dann hast du nur noch zu zeigen, dass

n/3 + 1 = (n+3)/3

gilt.

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(n+2)/3 + 3(n+1)(n+1)/3

Muss ich diese nicht zusammenfassen?

( (n+2) + 3(n+1)(n+2) ) /3

Weis nur nicht wie ich weiter vorgehen soll

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Was willst du zeigen?

Die Zeile, die Bruce hingeschrieben und ich kopiert hatte oder etwas anderes?

Du machst vermutlich einen Umweg.

Woher hast du Folgendes:

(n+2)/3 + 3(n+1)(n+2)/3

Muss ich diese nicht zusammenfassen?

( (n+2) + 3(n+1)(n+2) ) /3

= (n+2) * ( 1 + 3(n+1))/3 

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genau, dass die übereinstimmen

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Ok. Dann schreibst du neben diese Zeile

Behauptung

und machst dann ein paar Äquivalenzumformungen, bis zum Schluss links und rechts offensichtlich dasselbe steht.

Teile diese Zeile durch (n+1)(n+2) [Diese Zahl ist grösser als 0 und somit kann man teilen] , dann hast du nur noch zu zeigen, dass
⇔  n/3 + 1 = (n+3)/3

⇔  n/3 + 3/3 = (n+3)/3  stimmt immer qed

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Sry, dass ich das sage, aber geht es auch ohne, dass man (n+1)(n+2) teilt?

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Du kannst auch (n+1)(n+2) ausklammern.

Oder 1/3 ausklammern.

Und dann in den Klammern alle kleineren Klammern auflösen.

Der Aufwand ist einfach viel grösser.

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Also man müsste, dass dann ausmultiplizieren?

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Wenn du das einfacher findest. Der Aufwand ist halt gross

Rechts und links kannst du den Zähler 6 + 11 n + 6 n^2 + n^3 und den Nenner 3 erreichen.

Rechts ausmultiplizieren.

 https://www.wolframalpha.com/input/?i=6+%2B+11+n+%2B+6+n%5E2+%2B+n%5E3&lk=1&rawformassumption=%22ClashPrefs%22+-%3E+%7B%22Math%22%7D

Links halt erst mal alles auf einen Bruchstrich bringen (Bruchaddition) ... gibt dann exakt den gleichen Bruch auf beiden Seiten.

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Sollte man dann beim Beginn des Induktionsschlusses auch ausmultiplizieren?

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Meinst du auf der linken Seite der Gleichung, die du zeigen möchtest?

Das kannst du machen (weder solltest, noch müsstest) , wenn du gern viel hinschreibst. Du kannst aber auch erst mal alles auf einen Bruchstrich bringen (Bruchaddition a la 4/3 + 1 = 7/3 ) und dann den Zähler ausmultiplizieren. Wie gesagt, halte ich das Ausmultiplizieren für umständlich, wenn es mit ausklammern schneller geht.