Ableitung von Matrizen

Question

Es sei F: ℝ^n×m  × ℝ^m×k  → ℝ^n×k  definiert durch F(A,B) = AB. Was ist die Ableitung DF(A,B)(C,D)?

Und es sei H: Gl(n) → Gl(n) definiert durch H(A) = A^-1 . Was ist die Ableitung DF(A)(B)?

Danke.

Answer 1

Das geht gerade so wie in Deiner anderen Frage zum gleichen Thema, die Du letzte Woche gestellt hattest: \((A+C)(B+D)-AB=CB+AD+CD\) und also \(DF(A,B)(C,D)=CB+AD\), denn \(CD=o(\lVert(C,D)\rVert)\).

Wie man für \(H\) vorgeht, ist in der Antwort von letzter Woche ebenfalls schon enthalten (Neumannsche Reihe). Es ergibt sich \(DH(A)(B)=-A^{-1}BA^{-1}\).

Comments

Kannst du mir den Schritt mit der Neumannschen Reihe noch einmal kurz erklären, weil da hängt es bei mir?

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Mal andersrum gefragt: Hast Du eigentlich die Theorie (wenigstens die Definition des Differentials) zu diesem Thema angeschaut?

Siehe wenigstens mal da: https://de.wikipedia.org/wiki/Fréchet-Ableitung

Finden sollst Du eine Darstellung der folgenden Art: $$H(A+B)-H(A)=L_A(B)+o(\lVert B\rVert),$$ wobei \(L_A(B)\) in \(B\) linear sein soll. In Deiner Notation ist dann \(DH(A)(B)=L_A(B)\).

Das faengt also an mit $$(A+B)^{-1}-A^{-1}=\ldots$$ und weil \((A+B)^{-1}=(A(E+A^{-1}B))^{-1}=(E+A^{-1}B)^{-1}A^{-1}\) ist, entwickeln wir dazu \((E+A^{-1}B)^{-1}\) mit der Neumannschen Reihe. Schreib mal auf, was da rauskommt.

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ich habe mich nun bis ins Detail durchgearbeitet und verstehe nur noch eine Frage nicht:

Was bedeutet die Begründung "denn CD=o(∥(C,D)∥)"??

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Dass \(\lim_{(C,D)\to(0,0)}\frac{\lVert CD\rVert}{\lVert(C,D)\rVert}=0\) ist. Siehe Landau-Symbole