Bestimme die Lage der Extrempunkte in Abhängigkeit von e: f(x) = -x^3 + 3ex^2 - 4e^3

Question

f(x) = -x^3 + 3ex^2 - 4e^3

Bestimme die Lage der Extrempunkte in Abhängigkeit von e.

Gib an, wann Tiefpunkte und Hochpunkte

Gibt es immer Extrempunkte für alle e?

Funktionsschar in Abhängigkeit von Parameter

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Vom Duplikat:

Titel: TIP und Top von Funktionsschar in Abhängigkeit von Parameter. Waagrechte Tangenten ?

Stichworte: funktionenschar,extrempunkte,hochpunkt

f(x)= - x^3+3ex^2-4e^3

Bestimme die Lage der Extrempunkte in Abhängigkeit von e.

Gib an, wann Tiefpunkte und Hochpunkte

 Gibt es immer Extrempunkte für alle e ?

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Bilde die 1. und 2. Ableitung.

1.Ableitung Null setzen

Ergebnis in die 2. einsetzen. Falls >0, --> Mininum, falls <0 --> Max.

Answer 1

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind Lösungen der Gleichung -3x²+6ex= 0, also x=0 und x=2e. Das Berechnen der Punkte an diesen Stellen führt dann zu (0|-4e³) und (2e|0). Diese gibt es immer. Die Entscheidung, ob das Hoch- oder Tiefpunkte sind, kann getroffen werden, wenn man weiß, ob e<0 oder e>0..

Answer 2

f(x)= - x^3+3ex^2-4e^3

f ' (x)= -3x^2+6ex

f ' (x) = 0 <=>  x=0  oder x = 2e 

f ' ' (x) = -6x + 6e  ==>  f ' ' (2e) =  -12e + 6e = -6e 

und f ' ' (0) = 6e 

also existiert für e≠0 immer zwei Extrempunkt bei (2e; 0) 

und bei (0; -4e^3 )

Im Falle e=0 bleibt f (x) = -x^3 also kein

Extrempunkt.