Explizite Approximation mit geeigneten Riemannsummen

Question

Hallo ich weiss nicht genau ob man das so mach aber meine Lösung ist: 

= -cos(x)dx= -cos x lpi 0 = -cos(pi)-(-cos(0))=2

Comments

Deine Lösung ist aber nicht gefragt. Das Integral ist zu Fuss auszurechnen, nicht mit dem Hauptsatz.

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Vom Duplikat:

Titel: Wert des Integrals berechnen

Stichworte: berechnen,integralrechnung,integral

Hallo kann mir jemand zeigen wie man das mit explezite Approximation mit geeigneten Riemannsummen man weil ich kann das nur mit den Haupsatz:

=-cos(x) [0,pi] = -cos(pi) -(cos(0)=2

Answer 1

Wähle eine äquidistante Zerlegung mit \( x_k = k \frac{\pi}{n} \) dann sieht eine Riemannsumme so aus und wende die Formel für die geometrische Reihe an

$$  \sum_{k=0}^{n-1} \sin(x_k) (x_k - x_{k-1}) = \frac{\pi}{n} \Im \left( \sum_{k=0}^{n-1} e^{i k \frac{\pi}{n}}  \right) = \frac{\pi}{n} \Im \left( \frac{e^{i \pi} - 1}{ e^{ i \frac{\pi}{n}} - 1 }  \right) = \frac{\pi}{n} \cdot \frac{ \sin\left( \frac{\pi}{n} \right)}{ 2 \sin\left( \frac{\pi}{2 n}  \right) }  $$

Für \( n \to \infty \) geht der Ausdruck gegen \( 2 \)