Partialbruchzerlegung von x(s) = (s^2 + s + 3)/(s^2(s^2+4)) aufstellen

Question

ich verstehe nicht wie man auf die Partialbruchzerlegung kommt, bei einfachen aufgaben kann ich es nachvollziehen, aber wenn die aufgaben bisschen komplex sind habe ich da kein überblick.

Kann jemand die Rechnung erklären?

Comments

Wo beginnt das Problem genau? 

Was bis jetzt da steht ist klar (?)

Kennst du https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung ?

Answer 1

x(s) = (0s^3 + 1s^2 + 1s + 3)/(s^2(s^2+4))

= A/s + B/s^2 + (C + Ds)/(s^2 + 4)   | Bruchaddition

= (As + B)/s^2 + (C + Ds)/(s^2 + 4)     | nochmals Bruchaddition: 

=( (As + B)(s^2 +4) + s^2(C + Ds))/(s^2(s^2 + 4))  | Klammern im Zähler auflösen

= (As^3 + Bs^2 + 4As + 4B + Cs^2 + Ds^3)/(s^2(s^2 + 4)) 

Nun Zähler vergleichen und Gleichungen aufstellen.

0 = D + 4B

1 = B + C 

1 = 4A 

3 = 4B 

Kontrollieren! und danach noch LGS lösen. 

0 = D + 4B
1 = B + C
1 = 4A   ---> A = 1/4 
3 = 4B   --> B = 3/4

usw. 

Kontrolle https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fraction+(0s%5E(3)+%2B+1s%5E(2)+%2B+1s+%2B+3)%2F(s%5E(2)(s%5E(2)%2B4)) 

A = 1/4 und B = 3/4 passt schon mal. 

Comments

wie kommt man direkt auf den ersten Schritt?

Du hast /(s2 + 4) geschrieben aber da ist doch auch ein s davor also (s2(s2+4)) ?

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Kopiere mal die beiden Zeilen, bei denen du den Übergang nicht verstehst.

Bruchaddition klar? Bsp.

1/4 + 1/5 

= (5+4)/20 

Warum? 

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ja man erweitert mit *5 und *4 im Nenner und Zähler und addiert dann...

aber ich verstehe nicht wie man darauf kommt das s wegzulassen, oder zb A Nur durch s und B dann wiederum durch s^2 ?

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Warum denn weglassen?

A/s + B/s^{2}      | Bruchaddition in zwei Schritten

= As/s^2 + B/s^2 

= (As + B)/s^2 

Du hast immer noch nicht die beiden Zeilen kopiert, um die es dir geht ;) 

Lies mal https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung , wenn es dir um den Ansatz und nicht um die Rechnung geht. 

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hab ich das richtig verstanden das man s^2 und (s^2+4) sozusagen einzeln betrachtet,

sprich erstmal durch s^1 dann durch s^2 und da (s^2+4)^1 ist man direkt durch (s^2+4)?

Du hast immer noch nicht die beiden Zeilen kopiert, um die es dir geht ;)

Ja :D wenn man weiter denkt stellt man sich immer und wieder fragen und vergisst die erstgestellte frage komplett :D

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" und da (s^{2}+4)^{-1} ist man direkt durch (s^{2}+4) " ?

Speziell ist hier, dass s^{2}+4 keine reelle Nullstelle hat. Darum kann man nicht faktorisieren und lässt s^{2}+4 mal zusammen mit einem etwas komplizierteren Zähler. 

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ah okay aber wieso ^-1 ?

und weil s^2 eine Nullstelle sein kann darf man einmal durch s und einmal durch s^2 ?

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Lies den Artikel, den ich verlinkt habe. Da steht genau warum, was ...