Extremwert der Funktion x³/3+x/y²-4xy+1

Question

Hallöchen alle zusammen :)

Die Aufgabe lautet zu der Funktion

f(x,y)=x³/3+x/y²-4xy+1

1.Ableitung nach x

=> x²+1/y²-4y=0       (1)

1. Ableitung nach y

=> -3x/y³-4x=0        (2)

Wenn ich (1) nach x auflöse kommt x=√(4y-1/y²) raus und wenn ich (2) nach y auflöse kommt allerdings  die dritte Wurzel aus -3/4 raus.

Das Problem, wir sollten diese Aufgabe ohne Taschenrechner lösen, und das scheint mir doch etwas schwierig dafür.

Kann mir jemand sagen ob ich

a) überhaupt richtig liege

und

b) wenn ja wie ich damit weiterrechnen kann

:)

Comments

Lautet die Funktion so?

$$f(x,y)=\frac{x^3}{3}+\frac{x}{y^2}-4xy+1$$

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jap genau so :)

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Soll das eine Kurvendiskussion sein?

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Ahhh ja... sorry meinte eigentlich Extrempunkte :O

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Also ja oder nein?

Sind es Mehrdimensionale Extremwerte?

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Ja es ist eine Kurvendiskussion

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Mehrdimensional? weil du hast zwei variablen x und y

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Ja mehrdimensional. Und mich interessiert nicht was das für Punkte sind, also ob Minima oder Maxima sondern ich möchte einfach nur wissen ob die Punkte stimmen.

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Erste Ableitung für x:

$$x^2+\frac {1}{y^2}-4y$$

Zweite Ableitung für x:

$$2x$$

Erste Ableitung für y:

$$-\frac{2}{y^3}-4$$

Zweite Ableitung für y:

$$\frac{6}{y^4}$$

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Wenn ich (1) nach x auflöse kommt x=√(4y-1/y²) raus und wenn ich (2) nach y auflöse kommt allerdings  die dritte Wurzel aus -3/4 raus.

$$y=-\frac{(-1)^\frac{2}{3}*\sqrt[3]{3}}{2^\frac{2}{3}}$$

und

x hab ich genauso.

Ich wüsste auch nicht wie man das ohne TR lösen sollte.

Answer 1

f(x,y) = x³/3 + x/y² - 4·x·y + 1

f'(x, y) = [(x²·y² - 4·y³ + 1)/y², - 2·x·(2·y³ + 1)/y³] = [0, 0]

Die partielle Ableitung nach y ist infacher gleich Null zu setzen. Ein Bruch wird 0, wenn der Zähler Null wird.

- 2·x·(2·y³ + 1)/y³ = 0

Der Zähler wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

(x = 0 ∧ y ≠ 0) ∨ y = -2^2/3/2

Damit gehst du in die andere partielle Ableitung

(0²·y² - 4·y³ + 1)/y² = 0 --> y = 2^1/3/2

(x²·(-2^2/3/2)² - 4·(-2^2/3/2)³ + 1)/(-2^2/3/2)² --> keine Lösung

Damit ist die einzige Lösung [0, 2^1/3/2]

Answer 2

Hier meine Berechnungen

y = -0.7937 in fx ´ eingesetzt ergibt kein Ergebnis
x = 0 inf t1 eingesetzt ergibt y = 0.63

( 0 | 0.63 ) ist der einzige Punkt der in beiden
Ableitungen die Steigung null hat.

Jetzt wäre eventuell noch die Art des Punkts
zu klären
f x ´´ = 2x 
fy ´´ = 6x / y⁴