Question

Sei (an )n∈N eine reelle Folge mit Grenzwert a. Zeigen Sie, dass
(a) limn→∞ an+M = a für alle M ∈ N.
(b) limn→∞ af (n) = a für jede injektive Funktion f : N → N.

Answer 1

Hi,

arbeite mit der Definition der Konvergenz einer Folge.

Wenn die Folge \(a_n\) gegen \(a\) konvergiert, gilt folgendes: \(\forall \epsilon > 0 \ \exists N_{\epsilon} \ \forall n \ge N_{\epsilon}: \ \vert a_n - a \vert < \epsilon\)

a) Nun betrachtest du \(a_{n+M}\). Was gilt nun?

b) Wenn \(f\) injektiv ist, werden nur endlich viele \(n \in \mathbb{N}\) auf ein \(m< N_{\epsilon}\) abgebildet.