Optimierungsaufgabe Tunnel mit Form Rechteck

Question

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:


Problemstellung: Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit
aufgesetztem Halbkreis. Sein Umfang sei 40m. Für welchen Halbkreisradius wird der
Flächeninhalt am größten?
Bestimmen Sie die Zielfunktion zur Lösung der Aufgabe.
Ermitteln Sie den Zulässigkeitsbereich (d.h. die möglichst genaue Eingrenzung der
beteiligten freien Variablen).
Bestimmen Sie alle erforderlichen Nebenbedingungen zur Lösung der Aufgabe.
Berechnen Sie anschließend die Optimallösung

Answer 1

Maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Umfang

U = 2·h + pi·r + 2·r
h = U/2 - r·(pi + 2)/2

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·h
A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·(U/2 - r·(pi + 2)/2)
A = r·U - r^2·(pi + 4)/2
A' = U - r·(pi + 4) = 0
r = U/(pi + 4)

h = U/2 - (U/(pi + 4))·(pi + 2)/2
h = U/(pi + 4)

Damit haben r und h die gleiche Länge.

Answer 2

U = ( 2 * r ) Grundlinie
       + ( 2 * h ) Seitenteile
       + ( 2 * r * π ) ( Halbkreis ) = 40

Fläche = A = ( 2 * r * h ) ( Rechteck )
              + ( r^2 * π / 2 ) ( Halbkreis )

U = ( 2 * r ) Grundlinie
      + ( 2 * h ) Seitenteile
      + ( 2 * r * π ) ( Halbkreis ) = 40

nach h umstellen

U = 2 * ( r + h  + r * π ) = 40
r + h  + r * π= 20
h = 20 - r - r * π
h = 20 - r ( 1 + π )

Einsetzen
Fläche = A = ( 2 * r * ( 20 - r * ( 1 + π ) ) )
              + ( r^2 * π / 2 )
Ableitung
A ´( r ) = 40 - 2 * r* (π + 1) - π * r - 2*r
Extremwert : zu 0 setzen
40 - 2 * r* (π + 1) - π * r - 2*r = 0
r = 2.98 m

Bitte alles nachrechnen und nachvollziehen.
Bei Bedarf nachfragen.