Abschätzung von Wurzel aus n!

Question

ich verstehe folgende Abschätzung überhaupt nicht. Wie kommt man darauf     ⁿ√n!  ≥ √n/2

Answer 1

Zu jeder mathematischen Formel kann man zwei Fragen stellen: 1. Wie kommt man darauf? und 2. Wie beweist man das? Die erste Frage ist schwer zu beantworten, weil man den fragen müsste, der zuerst diese Formel aufgestellt hat. Meistens wird eine Anzahl von Beispielen durchgerechnet und eine Hypothese aufgestellt. In diesem Falle könnte man nachrechnen, ob √2!  ≥ √2/2, ³√3!  ≥ √3/2, ⁴√4!  ≥ √4/2 (und noch ein paar mehr) tatsächlich gilt und dann vermuten: ⁿ√n!  ≥ √n/2. An dieser Stelle muss man aber die zweite Frage stellen: Wie beweist man das? Eine Antwort wäre hier: Durch vollständige Induktion.

Answer 2

Du kannst das ja auch in der Form

n! ≥ (√(n/2) )^n  schreiben.

Wenn z.B. n gerade ist, ist die erste 

Hälfte der Faktoren von n! sicherlich

größer oder gleich 1  und damit deren

Produkt auch größer  oder gleich 1.

Und die Faktoren der zweiten Hälfte sind alle 

größer gleich n/2, also die zweite Hälfte des

Produktes größer oder gleich (n/2)^{n/2} .

Zusammen gibt das

n! ≥  1 .*  (n/2)^{n/2} .

<=> n! ≥   √ (n/ 2 ) ^n